第16 章 定积分

16.1 基本思想

我们从一个函数以及[a，b]区间开始研究。 画出y=f(x )这个函数图像，考虑这个曲线，考虑x轴和两条垂直线x=a和x=b所围的面积。

积分变量可以是虚拟变量，可以使用任意符号：

定积分是函数f(x )相对于x的从a到b的积分：

式f(x )是被积函数(Integrand )，a和b表示两条垂线在哪里，也称为积分端点。

举几个简单的例子

考虑以下几个定积分和对应的图形：

16.2定积分的定义(definitionofthedefiniteintegral )。

使用定义的示例

有必要将[ 0，2 ]区间分成n个小区间，各小区间的长度相等。全长为2，共有n个区间，所以各区间的长度为2/n。

16.3 定积分的性质(Properties of Definite Integrals)

。

16.4 求面积

16.4.1求出通常的面积

16.4.2求出两条曲线之间的面积

16.4.3求出由曲线和y轴包围的面积

要正确计算面积，最好的方法不是积分x，而是积分y。不是竖线，可以在水平方向切成长方形。

如果f有反函数，则是函数y=f(x )、直线y=A、y=B和y轴所围的面积。

16.6 积分的平均值和中值定理

在区间[a，b]内，可以如下定义积函数f的平均值。

积分中值定理[ meanvaluetheoremforintegrals ] :函数f在区间[a，b]中连续时，开区间[a，b]内总是有一点点c，满足：

简单地说，连续函数在某个区间内至少达到其平均值一次。

当

16.7 不可积的函数(A Nonintegrable Function)

函数f为有界函数，区间[a，b]有有限个不连续点时，函数f为积.即存在定积分.

让我们来看看不连续点过多的函数的积分情况。 针对区间[ 0，1 ]内的数量x:

函数f(x )的值在高1和高2之间来回切换，实际上任何点都不连续，所以f不会成为乘积。 实际上有求出这种函数积分的方法，被称为勒贝格积分(Lebesgue integration )。

(结束本章) ) ) )。

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