已知抛物线 (C:x^2=2py) ，弦 (AB) 过 (C) 的焦点 (F) ，过 (A,B) 两点作抛物线 (C) 的两条切线，若两切线相交于点 (P) ，则
(1) (APperp PB) ；
(2) 点 (P) 在抛物线 (C) 的准线上。
证明：设 (ABig(x_1,dfrac{x_1^2}{2p}Big),BBig(x_2,dfrac{x_2^2}{2p}Big),P(x_0,y_0)) ，设过点 (P) 的切线斜率为 (k) ，则切线方程为 (y=y_0+k(x-x_0)) ，联立抛物线方程得
[x^2-2pkx+2pkx_0-2py_0=0
]
令 (Delta=0) 得
[4p^2k^2-8px_0k+8py_0=0
]
故
[k_1+k_2=dfrac{2x_0}{p},k_1k_2=dfrac{2y_0}{p}
]
所以
[x=dfrac{2pkpmsqrt{Delta}}{2}=pk;Longrightarrow;x_1=pk_1,x_2=pk_2
]
则 (ABig(pk_1,dfrac{pk_1^2}{2}Big), BBig(pk_2,dfrac{pk_2^2}{2}Big))，由 (A,F,B) 三点共线得 (k_{AF}=k_{FB}) ，即
[dfrac{dfrac{pk_1^2}{2}-dfrac p2}{pk_1}=dfrac{dfrac{pk_2^2}{2}-dfrac p2}{pk_2}
]
化简得
[dfrac{(k_1k_2+1)(k_1-k_2)}{k_1k_2}=0
]
因为 (k_1
eq k_2) ，所以 (k_1k_2=-1) , 所以 (APperp PB) .
又 (k_1k_2=dfrac{2y_0}{p}=-1) ，所以 (y_0=-dfrac{p}{2}) . 所以点 (P) 在抛物线的准线上。
