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本文转载自：传送门 知乎作者：三川啦啦啦

等价无穷小替换，本质上是一个选择估计值精确度的问题。我下面通过一个非常通俗易懂的例子来说明.
我问
(LARGE frac{pi-3}{0.1}approx ?)
答：约等于1.

什么， (pi = 3.1_{cdots}) 代入上式，
(LARGE frac{pi-3}{0.1}=frac{3.1-3}{0.1}=frac{0.1ldots}{0.1}approx 1)

这个时候，我们只需要用到 π 的估计值 3.1就够了.
但是，若问
(LARGE frac{pi-3.1}{0.0415}approx ?)

这个时候，如果我们仍然选择 π 的估计值 3.1代入上式，就会出现灾难性后果：
(LARGE frac{0}{0.0415}approx 0)

这个约等于就跟玩一样，明明约等于 1 才更准确啊！
(LARGE frac{pi-3.1}{0.0415}=1.002232616621519_{cdots})

导致这个后果的原因是什么呢？
你看，如果我使用 π 稍精确一点估计值3.14（而不是3.1），代入结果
(LARGE frac{pi-3.1}{0.041}approxfrac{0.040}{0.041}approx 1)

问题又来了（这是一个关键性问题），

为什么在第二种情况，我们选择了π 更精确的估计值3.14，而没有选用3.1？

前后两道例题的区别在哪里？

前后两个例子的区别在于——对误差项估计的精确程度要求不同，前一道题对 π 的估计只精确到了十分位（0.1），而后者对 π 的估计精确到了百分位（0.01）.
我们会发现分母是一个对精确度要求的明显指标——分母数量级越小，对分子的变化越敏感(想想反比例函数在0点的性态)，于是对估值的精度要求变高.

其实等价无穷小的替换，无非也是这种情况，下面仅说明一例.
我们知道
(LARGE ln(1+x) sim x , vert x vert < 1)

是一对很经典的等价无穷小.

学习了 Taylor公式后，我们知道关于 ln(1+x) 更精确的逼近式：
(LARGE ln (1+x) sim x – frac{x^{2}}{2}+frac{x^{3}}{3}-ldots)

对于极限
(LARGE limlimits_{x o 0} frac{ln(1+x)}{x} = limlimits_{x o 0}frac{x}{x} = 1)

这个时候，用 x 当作 ln(1+x) 的“估计值”，已经够用了（注意分母），而若求极限
(LARGE limlimits_{x o 0}frac{ln(1+x)-x}{x^{2}} = limlimits_{x o 0}frac{x-frac{x^{2}}{2} – x }{x^{2}} = -frac{1}{2})

这是时候用(frac{x-x^{2}}{2})作为(ln(1+x))的“估计值”，显然比用 x 显得更为适宜（注意分母）.

注意到了什么规律了吗？？？

分母是几阶，泰勒就得展到几阶，这就是所谓的上下同阶原理.