直角三角形的边长(对图形直角三角形的理解)

勾股定理

在图形学的研究中，直角三角形是最基本也是最重要的。大概正因为如此，几乎所有的古代文明都研究过直角三角形，在许多古代文明的历史文献中，都明确记载了与直角三角形边长密切相关的三个数值:3、4、5。在中国，这三个数值最早记载在《周记·计算》一书中，书中说商高答周公:

钩三，股修四，径角五

也就是说，对于一个直角三角形，如果两条直角边(钩和股)的长度分别是3和4，那么斜边的长度就是5。《三国志》赵爽注释周吉演算时，给出了一个一般结果，并证明了该结果。设两条直角边是A和B，斜边是C，那么三条边的长度之间的关系是

a2+b2=c2 (1)

我们把上面的定理叫做勾股定理，把满足上面公式的整数解叫做勾股数，是三个整数的数组。在西方，这个定理叫做毕达哥拉斯定理，这个数组叫做毕达哥拉斯数。很明显，(3，4，5)是一组钩子，而且是最小的一组钩子。发现于尼罗河三角洲，约公元前2000年的卡胡恩纸莎草纸有这样一个标题:

将一个面积为100的大正方形分成两个小正方形，一边长是另一边长的四分之三

这个答案只是一组毕达哥拉斯数(6，8，10)。古埃及人得到的结果是这样的:如果b=1，那么a=3/4，那么从公式(1)可以得到c=5/4。现在c=10，是5/4的8倍，所以可以得出结论:a=(3/4)×8=6，b=1×8=8。这里用到了“两个三角形相似当且仅当这两个三角形对应的边成比例”这个命题，这个命题是我们今天初中数学教学的难点之一。那么古埃及人是如何直观地得出这个命题的呢？我想大概是勾股定理的巧妙应用吧。我们对这个问题分析如下:

在我国初中数学《图形与几何》的教学中，只给出了多边形相似的定义:若两个多边形对应的角相等，对应的边成比例，则称这两个多边形相似。显然，这个定义并没有回答存在，也就是没有给出“对于任意给定的边之间的相似比，所有相似的多边形都存在”这个命题。这样，在将多边形相似性的定义应用于三角形时就出现了问题，因为要使两个三角形相似，只需要对应的边成比例即可。这意味着对应边成比例的两个三角形的对应角也必须相等。但是证明这个命题是比较繁琐的，是中学数学教学中比较难的问题之一。现在，我们试着回到古埃及人的思维。

首先，古埃及人清楚地知道三角形是直角三角形当且仅当勾股定理成立，也就是说，他们不仅知道直角三角形的三条边长满足公式(1)，还知道边长满足公式(1)的三角形是直角三角形。甚至很多数学史专家都认为，古埃及人建造金字塔的时候，就是用(3，4，5)这组毕达哥拉斯数来确定直角的。然后，对于两个三角形δ1和δ2，假设边长分别为A，B，C和A，B，C，如图(1)(a)所示:

若δ1为直角三角形，与δ2的对应边成正比，即a/A=b/B=c/C，则由勾股定理可知，δ2也是直角三角形，角α等于角β，从而可得图(1)(b)。所以我们知道这两个直角三角形是相似的，也就是我们直观地得到“两个直角三角形对应的边在一个比列上时相似”这个命题。因为任何三角形都可以转化为两个直角三角形，所以不难得到“两个三角形若对应边成比例则相似”的一般结论。

在上述计算中，使用了直角三角形的角关系，即如图(1)(a)所示

∠ α = ∠ β当且仅当b/a=B/A (2)

可以看出，上面的公式构造了三角函数的直观基础:在任意两个直角三角形中，如果一个锐角相等，那么这两个直角三角形的直角边之比也相应相等，即等角对应的直角边之比是一个常数。所以人们可以定义这个常数值，比如称之为正切值，即公式(2)右边的比值正好是角度α(从而角度β)的三角函数的正切值。可见，由于生产实践的需要，古埃及人创造了许多计算图形的长度、面积、体积和角关系的方法。然而，更令人惊讶的是在两河流域的发现。有学者认为，巴比伦人在公元前1600年之前就已经做出了三角函数的正切表，这当然与毕达哥拉斯的数量有关。

古巴比伦

流淌不息的底格里斯河和幼发拉底河发源于今天的土耳其，流入波斯湾。这两条河流浇灌了美索不达米亚平原，孕育了两河流域的文明。公元前19世纪，在这片土地上建立了强大的巴比伦王国，首都是巴比伦，所以人们也把这里的文明称为古巴比伦。其实两河文明延续了3000多年，古巴比伦是两河文明最重要的一部分，但不是全部。关于巴比伦城，希罗多德在《历史》一书中是这样描述的:

“这座城市坐落在一个大平原上，它的形状是正方形的。每边长120视距，所以它周围有480视距。这座城市的规模如此之大，它的风格是我们所知道的任何一座城市都无法比拟的。

有一条河把整个城市从中间分成两部分。这条河就是幼发拉底河，是一条又宽又深、水流湍急的河。它发源于阿尔穆尼亚，流入红海。”

锡夫诺斯岛

其中一个长度单位是斯塔滕，大约是211-224米。如果希罗多德的记载可靠，那么巴比伦古城的长度约为26公里，整个城市的面积约为670平方公里，相当于现在的新加坡。这的确是一个相当大的城市。但希罗多德历史上的很多记载并不可靠，不像司马迁的《史记》那样经得起推敲。

我们说过，两河流域的人们把楔形文字刻在泥板上，在发现的几十万块泥板上，大约有300块与数学有关，包括一些数表，如乘法表、倒数表、方桌、立方表。有一块泥板叫“普林顿322”，上面记录了15组股票。我们知道，即使在今天，要算出毕达哥拉斯的15组也不容易，但这项工作是在公元前1900年到1600年的古巴比伦时代完成的，这真的很了不起。

现代科技已经相当发达，但是勾股定理在今天仍然被广泛使用。该应用基于以下几何直觉，如图(2)所示:

图(二)

我们把直角三角形的斜边看作两维空之间的向量c→那么向量c→到直线L(一维空之间)上的投影正好是a→,也就是说，对于直线L上的任意一点D，都有

||c→-a→||≤||c→-d→||

这意味着低维空之间L中最接近C的点是a，也就是说，如果要用低维空之间的点来代替C，那么最合适的点就是a，我们可以把这个思路推广到一般情况，即可以利用勾股定理把一个向量c→高维空之间投影到低维空之间的L上，这为处理大规模数据或多维参数模型提供了一个强有力的数学工具。

我们可以看到，在日常生活和生产实践中，古埃及人、巴比伦人和古代中国人创造了如此实用、丰富多彩的经验几何，但他们并没有对自己所创造的知识进行一般意义上的总结和抽象，因此也没有总结出几何的一般概念和原理。事实上，正是思维严谨、善于雄辩的古希腊人对图形进行了高度的抽象，从而建立了几何学。