翻译图形(如何理解图像的翻译功能？)

很多数学老师认为不管怎样，学生都不会翻译函数图像。比如你想问y=x+2x+3是怎么被y=x感动的，学生总是答错，尤其是左右翻译。应该如何解决？

这个问题确实很难解决，但也不是完全不可能。这里的关键点是，学生可能并不总能解释清楚自己的困惑，这就需要老师们在深圳通过观察和交谈来找出症结所在。就本文讨论的问题而言，亲爱的老师们，你们能看到学生们没有试图理解的东西吗？先把这个问题放在这里。让我们先看看如何告诉学生。

前一个函数的公式变成y=(x+1)+2后，最好的方法之一就是使用特殊值法:原来函数图像的顶点(0，0)现在变成了(-1，2)，所以函数向左移动了一个单位，向上移动了两个单位。很容易解释为什么顶点是(-1，2)而不是(1，2)，因为很容易看出顶点的纵坐标是2。这种情况下，如果公式后的函数值等于2，很容易得到此时x等于-1。

我曾经说过，做题不难，但难懂。具体到这篇文章，学习“理解”就是理解这个问题:为什么与垂直运动相关的+2(这里的关键是大于0，具体值在后面)会使图像上移，而与水平运动相关的+1(注意也大于0)会使图像左移？为什么会有区别？如果学生想不出来，以后会有问题，比如以后遇到正弦和余弦曲线的时候。我想先问问读者中的老师，你们是怎么向学生解释的？如果你问我，我会让学生把等号左边+2，改成-2。优点是:第一，左右移动相关的数字在x旁边(注意是(x+1)的完全平方)，上下移动相关的数字(-2)在y旁边；其次，由于与上下移动相关的数字(现在-2，小于0)可以使函数上移，所以不难理解与左右移动相关的数字(+1，大于0)使函数左移。

“旁边”很重要。你能从上面两个公式看出“旁边”的意思吗？

说到这里，我想谈谈我的教学观点:有时候学生思想上的死结需要特殊的方法来解决。以本文中的抛物线为例，学生会问:为什么与Y有关的+2能使图像上移(正向)，为什么与X有关的+1能使函数左移(负向)？这种奇怪的差异是怎么造成的？当我们向左移动+2并将其更改为-2时，我们可以看到没有区别。

另一个经常惹恼数学老师的事情是，初中讲函数的时候经常动函数像，而高中讲解析几何的时候经常动坐标轴。然而，它们对方程有相反的影响。个人认为初中讲函数的重点是研究变量之间的关系。例如，如果我们首先研究自由落体的运动方程，然后研究抛射体运动，我们必须翻译自由落体的运动方程。然而解析几何往往需要根据问题研究的方便性来设置坐标系，这就涉及到坐标的移动。但无论哪种情况，只要掌握了特殊值法(特殊值可能是图的一个顶点，直线与轴的交点，或者中心曲线的中心等。)，你就能搞清楚谁在动。

比如两个圆，一个是x+y=1，中心是(0，0)；另一个是(x+1)+(y-2)=1，中心是(-1，2)。如果前者通过图形翻译变成后者，则意味着图形向左移动一个单位，向上移动两个单位。如果通过坐标轴将前者转化为后者，坐标轴向右移动1个单位，向下移动2个单位。为了避免混淆，可以在草稿纸上画坐标和图形。如果图形移动，画两个图形，如果坐标移动，画两组坐标轴(谁移动，画后面的虚线表示区别)。有些学生画不好圆，只能用箭头标出圆心或原点的移动方向。以下是我手绘的结果，读者可以凑合一下。用手而不是用电脑或尺子画画的原因是为了在考试中向学生展示如何画画。

我们来谈谈正弦函数图像。如果绘制了标准正弦函数y=sin(x)的图像，如何绘制y=3sin(2x+/4)的图像？

这里，3次不是关键问题，所以在下面省略。重点是正弦函数括号中的2x+/4。解决的方法有两种:一是处理2次，然后处理/4；二、先治疗/4，再治疗2次。两种方法都要分两步走，每一步都只关注一个方面。换句话说，做第一步的时候，不考虑第二步，做第二步的时候，不在乎第一步是怎么来的，只从第一步的结果开始。

左图中的变化图是加工前加工两次/4。注意，我们的第一步是把图像从原点位置压缩到原来的1/2(因为这个2倍系数在X旁边)，然后向左平移/8，因为此时，要让这个数字在X旁边，我们必须把它变成2(x+/8)的形式。

右图为第二种方法:先处理/4，再处理2次。此时，先向左移动/4，然后将图像从原点位置横向压缩到原始图像的一半。