直角三角形（图形的认识—直角三角形）直角三角形(图形理解-直角三角形)

勾股定理

在图形的学习中，直角三角形是最基本也是最重要的。正因为如此，几乎所有的古文明都研究过直角三角形，在许多古文明的历史文献中，都明确记载了与直角三角形边长密切相关的三个值:3、4、5。在中国，这三个值最早记载在《周易计算经》中，说商高回答周公:

苟光三、顾、吴。

也就是说，在直角三角形中，如果两个直角边(钩和股)的长度分别为3和4，那么斜边的长度为5。三国时期，赵爽在注释《周元算经》时，对这一问题给出了大致的结论，并证明了这一结论。假设两条直角边为A和B，斜边为C，那么三条边的长度关系为:

a2+b2=c2(1)

我们把上面的定理叫做毕达哥拉斯定理，满足上面公式的整数解叫做毕达哥拉斯数，它是由三个整数组成的数组。在西方，这个定理叫做毕达哥拉斯定理，这个数组叫做毕达哥拉斯数。显然，(3，4，5)是一组毕达哥拉斯数，是毕达哥拉斯数中最小的一组。发现于尼罗河三角洲，约公元前2000年，卡赫恩纸莎草有这样一个话题:

“把一个面积为100的大正方形分成两个小正方形，一边是另一边的四分之三。”

答案只是一组毕达哥拉斯数字(6，8，10)。古埃及人得到的结果如下:如果b=1，那么a=3/4，那么c=5/4可以从公式(1)中得到。现在c=10，这是5/4的8倍，所以我们可以得到a = (3/4) 8 = 6，b = 18 = 8的结论。这里用到的命题是“两个三角形相似当且仅当两个三角形的对应边成比例”，但这个命题是我们今天初中数学教学的难点之一。古埃及人是如何直观地得到这个命题的？我认为毕达哥拉斯定理被巧妙地应用了，我们对这个问题的分析如下:

在我国初中数学《图形与几何》的教学中，只给出了多边形相似性的定义:如果两个多边形的对应角相等，对应边成比例，则两个多边形相似。显然，这个定义没有回答存在的问题，即没有给出“对于任意给定的边间相似比，所有相似多边形都存在”的命题。因此，在将多边形相似性的定义应用于三角形时存在一个问题，因为要使两个三角形相似，只有对应的边需要成比例。这意味着两个边长成正比的三角形对应的角度必须相等，但证明这个命题却相当繁琐，这也是中学数学教学中比较难的问题之一。现在，我们试着回到古埃及思维。

首先，古埃及人清楚地知道，三角形是直角三角形的当且仅当毕达哥拉斯定理成立，也就是说，他们不仅知道直角三角形的三条边满足公式(1)，而且知道边满足公式(1)的三角形是直角三角形。甚至数学史上的许多专家都认为，古埃及人建造金字塔时，他们用(3，4，5)毕达哥拉斯数字来确定直角。然后，对于两个三角形1和2，假设边长分别为A、B、C和A、B、C，如图(1)和(A)所示:

如果1是一个直角三角形，与2的对应边成正比，即a/A=b/B=c/C，那么从勾股定理可知，2也是一个直角三角形，两者的夹角相等，这样就可以得到图(1)和(B)。因此，我们知道这两个直角三角形是相似的，也就是我们直观地得到“两个直角三角形的对应边比较时，这两个三角形是相似的”这个命题。因为任何一个三角形都可以变换成两个直角三角形，所以不难得出“两个三角形对应的边成正比，那么两个三角形就相似”的一般结论。

在上面的计算中，使用了直角三角形的角关系，如图(1)(a)所示。

∑=≈当且仅当b/a=B/A (2)。

可以看出，上面的公式构造了三角函数的直观基础:如果任意两个直角三角形有相等的锐角，那么这两个直角三角形的直角边的比值就相应相等，即相等的角度对应的直角边的比值是一个常数。因此，人们可以定义这个常数值，比如称之为正切值，即公式(2)右边的比值正好是角的三角函数的正切值(所以也是角)。可以看出，由于生产实践的需要，古埃及人创造了许多计算图形长度、面积、体积和棱角关系的方法。然而，更令人惊讶的是在两河流域的发现。有学者认为，公元前1600年以前，古巴的巴比伦人就已经制作了三角函数的正切表，这当然与毕达哥拉斯的数字有关。

古巴比伦

无尽的底格里斯河和幼发拉底河发源于今天的土耳其，流入波斯湾。这两条河流，深圳生命网，浇灌了美索不达米亚平原，孕育了两河流域的文明。公元前19世纪，在这片土地上建立了一个强大的巴比伦王国，它的首都在巴比伦，所以人们也把这里的文明称为巴比伦。其实两河文明已经延续了3000多年，巴比伦是两河文明最重要的组成部分，但不是全部。关于巴比伦，希罗多德在《历史》一书中描述如下:

“这座城市位于一片大平原上，它的形状是方形的。每边有120码长，所以周围有480码。这座城市的规模如此之大，其风格是我们所知道的任何城市都无法比拟的。

有一条河从中间把整个城市分成两部分。这条河就是幼发拉底河，它又宽又深，水流湍急。它发源于阿尔梅尼亚，流入红海。”

锡夫诺斯岛

Stadion的长度单位约为211-224米。如果希罗多德的记载可靠的话，那么古巴巴比伦一侧的长度约为26公里，整个城市的面积约为670平方公里，相当于现在的新加坡。这确实是一个相当大的城市。但是，希罗多德《史记》中的很多记载并不可靠，不像司马迁《史记》那样经得起推敲。

我们说过，两河流域的人在泥板上写楔形文字。在已发现的几十万块泥片中，约有300块与数学有关，包括一些数表，如乘法表、倒数表、平方表、立方表等。其中一个叫“普林斯顿322”，记录了15组蟒蛇。我们知道，即使在今天，计算15套蟒蛇也不容易，但这项工作是在公元前1900年至公元前1600年的巴比伦时期完成的，这真的很神奇。

现代科学技术已经相当发达，但是勾股定理在今天仍然被广泛使用。该应用程序基于以下几何直觉，如图(2)所示:

图(2)

我们把直角三角形的斜边看作两维空之间的向量c→所以向量c→到直线l(一维空之间)上的投影只是a→,也就是说，对于直线l上的任意一点d，都有。

||c→-a→| |≤| c →- d→| |。

这意味着低维空之间的L中距离C最近的点是A，也就是说如果用低维空之间的点来代替C，那么最合适的点就是A，我们可以把这个思路推广到一般的一个，即利用勾股定理，在高维空和低维空之间的L之间投影一个向量C，这为处理大规模数据或者多维参数模型提供了一个强大的数学工具。

我们可以看到，在日常生活和生产实践中，古埃及人、古巴比伦人和中国古人创造了如此实用、丰富多彩的经验几何，但他们并没有对一般意义上创造的知识进行总结和抽象，因此没有总结出几何的一般概念和原理。事实上，正是古希腊人思维严谨，通过高度抽象相应的图形，雄辩地建立了几何学。