简介

一个根轨迹图，部分的极点在右半平面，表示当时的系统会不稳定根轨迹图（root locus）是控制理论及稳定性理论中，绘图分析的方式，可以看到在特定参数（一般会是回授系统的环路增益）变化时，系统极点的变化。根轨迹图是由Walter R. Evans（英语：Walter R. Evans）所发展的技巧，是经典控制理论中的稳定性判据，可以判断线性非时变系统是否稳定。根轨迹图是在复数s-平面中，系统闭回路传递函数的极点随着增益参数的变化（参照极零点图（英语：Pole–zero plot））。

用途

极点位置及二阶系统中自然频率及阻尼比的关系

除了确认系统的稳定性外，根轨迹图也可以用来设计回授系统的阻尼比（ζ）及自然频率（ωn）。定阻尼比的线是从原点往外延伸的线，而固定自然频率的线是圆心在原点的圆弧。在根轨迹图上选择有想要的阻尼比及自然频率的点，可以计算增益K并且实现其控制器。在许多教材科书上有利用根轨迹图设计控制器的精细技巧，例如超前-滞后补偿器、PI、PD及PID控制器都可以用此技巧来近似设计。

以上使用阻尼比及自然频率的定义，前提是假设整个回授系统可以用二阶系统来近似，也就是说系统有一对主要的复数极点，不过多半的情形都不是如此，因此在实做时仍需要针对系统再进行模拟，确认符合需求。

定义

回授系统的根轨迹图是用绘图的方式在复数s-平面上画出在系统参数变化时，回授系统闭回路极点的可能位置。这些点是根轨迹图中满足角度条件（angle condition）的点。根轨迹图中特定点的参数数值可以用量值条件（magnitude condition）来计算。

假设有个回授系统，输入信号 X ( s ) {displaystyle X(s)} 、输出信号 Y ( s ) {displaystyle Y(s)} 。其顺向路径传递函数为 G ( s ) {displaystyle G(s)} ，回授路径传递函数为 H ( s ) {displaystyle H(s)} 。

此系统的闭回路传递函数为

T ( s ) = Y ( s ) X ( s ) = G ( s ) 1 + G ( s ) H ( s ) {displaystyle T(s)={frac {Y(s)}{X(s)}}={frac {G(s)}{1+G(s)H(s)}}}

因此，闭回路传递函数的极点为特征方程式 1 + G ( s ) H ( s ) = 0 {displaystyle 1+G(s)H(s)=0} 的根，方程式的根可以令 G ( s ) H ( s ) = − 1 {displaystyle G(s)H(s)=-1} 来求得。

若是一个没有纯粹延迟的系统， G ( s ) H ( s ) {displaystyle G(s)H(s)} 的乘积为有理的多项式函数，可以表示为

G ( s ) H ( s ) = K ( s + z 1 ) ( s + z 2 ) ⋯ ( s + z m ) ( s + p 1 ) ( s + p 2 ) ⋯ ( s + p n ) {displaystyle G(s)H(s)=K{frac {(s+z_{1})(s+z_{2})cdots (s+z_{m})}{(s+p_{1})(s+p_{2})cdots (s+p_{n})}}}

其中 − z i {displaystyle -z_{i}} 为 m {displaystyle m} 个零点， − p i {displaystyle -p_{i}} 为 n {displaystyle n} 个极点，而 K {displaystyle K} 为增益。一般而言，root locus diagram会标示在不同参数 K {displaystyle K} 时，传递函数极点的位置。而root locus plot就会画出针对任意 K {displaystyle K} 值下，使 G ( s ) H ( s ) = − 1 {displaystyle G(s)H(s)=-1} 的极点 ，但无法看出 K {displaystyle K} 值变化时，极点移动的趋势。

因为只有 K {displaystyle K} 的系数以及简单的单项，此有理多项式的值可以用向量的技巧来计算，也就是将量值相乘或是相除，角度相加或是相减。向量公式的由来是因为有理多项式 G ( s ) H ( s ) {displaystyle G(s)H(s)} 的每一个因式 ( s − a ) {displaystyle (s-a)} 就表示一个s-平面下由 a {displaystyle a} 到 s {displaystyle s} 的向量，因此可以透过计算每一个向量的量值及角度来计算多项式。

根据矩阵数学，有理多项式的相角等于所有分子项的角度和，减去所有分母项的角度和。因此若要测试s-平面上的一点是否在根轨迹图上，只要看开回路的零点及极点即可，这称为角度条件。

有理多项式的量值也是所有分子项的量值乘积，再除以所有分母项量值的乘积。若只是要确认一个s-平面上的点是否在根轨迹图上，不需要计算有理多项式的量值，因为 K {displaystyle K} 值会变，而且可以是任意的整数。针对根轨迹图上的每一点，都可以计算其对应的 K {displaystyle K} 值，此即为量值条件。

以前绘制根轨迹图会使用名叫Spirule的特殊量角器，可以用来确认角度并且绘制根轨迹图

根轨迹图只能提供在增益 K {displaystyle K} 变化时，闭回路极点的位置资讯。 K {displaystyle K} 的数值不影响零点的位置，闭回路零点和开回路的零点相同。

角度条件

复数s平面上的点 s {displaystyle s} 若满足下式，即符合角度条件（angle condition）

∠ ( G ( s ) H ( s ) ) = π {displaystyle angle (G(s)H(s))=pi }

也就是说

∑ i = 1 m ∠ ( s + z i ) − ∑ i = 1 n ∠ ( s + p i ) = π {displaystyle sum _{i=1}^{m}angle (s+z_{i})-sum _{i=1}^{n}angle (s+p_{i})=pi }

开回路零点到 s {displaystyle s} 点角度的和，减去开回路极点到 s {displaystyle s} 点角度的和，需等于 π {displaystyle pi } 或180度。

量值条件

主条目：量值条件

在根轨迹图上的特定点 s {displaystyle s} ，数值 K {displaystyle K} 若使下式成立，就符合量值条件（magnitude condition）

| G ( s ) H ( s ) | = 1 {displaystyle |G(s)H(s)|=1}

也就是说

K | s + z 1 | | s + z 2 | ⋯ | s + z m | | s + p 1 | | s + p 2 | ⋯ | s + p n | = 1 {displaystyle K{frac {|s+z_{1}||s+z_{2}|cdots |s+z_{m}|}{|s+p_{1}||s+p_{2}|cdots |s+p_{n}|}}=1} .

绘制根轨迹图

RL=根轨迹图，ZARL=zero angle root locus

利用一些基本的技巧，可以用根轨迹法绘制Ｋ值变化时，极点的轨迹。根轨迹图可以看出回授系统在不同 K {displaystyle K} 下的稳定性以及动态特性。其规则如下：

标示开回路的极点及零点

将实轴上，在奇数个极点及零点左边的线段标示下来（例如一个、三个极点及零点）。

找渐近线

令P为极点的个数，Z为零点的个数，两者相减即为渐近线的数量：

P − Z = number of asymptotes {displaystyle P-Z={text{number of asymptotes}},}

渐近线和实轴的交点在 α {displaystyle alpha } （称为形心），往外延伸的角度为 ϕ {displaystyle phi } ：

ϕ l = 180 ∘ + ( l − 1 ) 360 ∘ P − Z , l = 1 , 2 , … , P − Z {displaystyle phi _{l}={frac {180^{circ }+(l-1)360^{circ }}{P-Z}},l=1,2,ldots ,P-Z} α = ∑ P − ∑ Z P − Z {displaystyle alpha ={frac {sum _{P}-sum _{Z}}{P-Z}}}

其中 ∑ P {displaystyle sum _{P}} 为所有极点数值的和， ∑ Z {displaystyle sum _{Z}} 为所有明确零点数值的和

根据测试点的相位条件判断其往外延伸的角度

计算分离点（breakaway/break-in points）

根轨迹图上的分离点（二条根轨迹图上的轨迹相交的点）是满足下式的根

d G ( s ) H ( s ) d s = 0  or  d G H ¯ ( z ) d z = 0 {displaystyle {frac {dG(s)H(s)}{ds}}=0{text{ or }}{frac {d{overline {GH}}(z)}{dz}}=0}

只要解开z，实根即为分离点，若是虚数，表示没有分离点

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