简介

机器学习与数据挖掘问题分类聚类回归异常检测数据清洗自动机器学习关联规则强化学习结构预测（英语：Structured prediction）特征工程特征学习线上机器学习无监督学习半监督学习排序学习（英语：Learning to rank）语法归纳（英语：Grammar induction）监督式学习(分类 · 回归)决策树集成（装袋，提升，随机森林）k-NN线性回归朴素贝叶斯神经网络逻辑回归感知器支持向量机（SVM）相关向量机（RVM）聚类BIRCH层次k-平均期望最大化（EM）DBSCANOPTICS均值飘移（英语：Mean shift）降维因素分析CCAICALDANMF（英语：Non-negative matrix factorization）PCALASSOt-SNE（英语：t-distributed stochastic neighbor embedding）结构预测（英语：Structured prediction）概率图模型（贝叶斯网络，CRF, HMM）异常检测k-NN局部离群因子（英语：Local outlier factor）神经网络自编码深度学习多层感知机RNN受限玻尔兹曼机SOMCNNTransformer模型强化学习Q学习SARSA时序差分学习深度强化学习理论偏差/方差困境（英语：Bias–variance tradeoff）计算学习理论（英语：Computational learning theory）经验风险最小化PAC学习（英语：Probably approximately correct learning）统计学习VC理论研讨会NeurIPSICML（英语：International_Conference_on_Machine_Learning）ICLR查论编在数据挖掘和统计学中，层次聚类（英语：Hierarchical clustering）是一种旨在建立聚类的层次结构的聚类分析方法。层次聚类的策略通常有两种：凝聚（Agglomerative clustering）：一种自底向上方法，从小集群开始，逐渐将其合并，形成更大的集群；分裂（Divisive clustering）：一种自顶向下方法，从单个集群开始，递归地将其拆分成更小的集群。凝聚和分离的操作通常用贪心算法实现，结果通常用树状图展示。标准的凝聚层次聚类（Hierarchical agglomerative clustering，HAC）算法的时间复杂度为 O ( n 3 ) {displaystyle {mathcal {O}}(n^{3})} ，空间复杂度为 Ω ( n 2 ) {displaystyle Omega (n^{2})} ，这使它甚至难以应用于中等规模的数据集中。对于一些特殊情况，效率最优的算法（复杂度为 O ( n 2 ) {displaystyle {mathcal {O}}(n^{2})} ）包括SLINK（用于单连接聚类，Single-linkage clustering）和CLINK（用于全连接聚类，Complete-linkage clustering）。当使用堆（Heap）时，一般情况下的时间复杂度降至 O ( n 2 log ⁡ n ) {displaystyle {mathcal {O}}(n^{2}log n)} ，该改进以更多的内存需求为代价。这种改进方法的内存开销很多时候大到难以实际使用。除了单连接聚类的特殊情况，除了穷举算法（复杂度 O ( 2 n ) {displaystyle {mathcal {O}}(2^{n})} ）外，没有算法可以保证找到最优解。使用穷举算法的分裂方法的复杂度为 O ( 2 n ) {displaystyle {mathcal {O}}(2^{n})} ，不过可以通过更快的启发式方法（例如k-均值算法）进行分裂。层次聚类的优点是可以采用任何有效的距离测量。当给定距离矩阵时，观测本身是没有必要的。

聚集层次聚类

原始数据

本节将对上图所示的原始数据进行聚集层次聚类（Agglomerative clustering），采取欧几里得距离度量距离。

下图展示了聚类结果的树状图：

聚类结果

在给定高度切割树，会得到一个特定精度的聚类结果。例如，在从上往下数的第二行切割会得到四个集群：{a}、{b, c}、{d, e}和{f}；在第三行切割会得到{a}、{b, c}、{d, e, f}，相比之前，这是一个更粗糙（coarser）的聚类结果，集群的数量更少但集群更大。

该方法合并单独的元素形成集群并得到层次（Hierarchy）。本例有六个元素（{a}、{b}、{c}、{d}、{e} 、{f}），第一步确定哪些元素合并到一个集群，判定标准通常是元素间的距离，选取两个最近的形成集群。

也可以在该步构建距离矩阵（矩阵的第i行第j列的数值为i-j元素之间的距离）。在聚类过程中，行、列被合并并形成新的距离。该方法为实现聚集层次聚类的通用方法，同时对缓存集群之间的距离有益。单连接聚类（英语：Single-linkage_clustering）是一个简单的聚集层次聚类方法。

在完成对距离最短元素b和c的合并后，形成的集群为：{a}、{b, c}、{d}、{e} 、{f}，对其进行进一步的合并需要度量集群{a}和{b, c}之间的距离（即两个集群间的距离）。通常将集群 A {displaystyle {mathcal {A}}} 和 B {displaystyle {mathcal {B}}} 之间的距离定义为：

两个集群的元素间的最大距离（又称全连接聚类（英语：Complete-linkage_clustering））：

max { d ( x , y ) : x ∈ A , y ∈ B } . {displaystyle max{,d(x,y):xin {mathcal {A}},,yin {mathcal {B}},}.}

两个集群的元素间的最小距离（又称单连接聚类（英语：Single-linkage_clustering））：

min { d ( x , y ) : x ∈ A , y ∈ B } . {displaystyle min{,d(x,y):xin {mathcal {A}},,yin {mathcal {B}},}.}

两个集群的元素间的平均距离（又称平均连接聚类（Average linkage clustering），在UPGMA（英语：UPGMA）方法中有应用）：

1 | A | ⋅ | B | ∑ x ∈ A ∑ y ∈ B d ( x , y ) . {displaystyle {1 over {|{mathcal {A}}|cdot |{mathcal {B}}|}}sum _{xin {mathcal {A}}}sum _{yin {mathcal {B}}}d(x,y).}

所有聚类内方差的总和

被合并的集群方差的增加量 （Ward法（英语：Ward%27s_method））

候选聚类从同一分布函数生成的概率（V-linkage）

当若干对组合具有同样的距离且为最小时，可以随机选取一对形成集群（生成不同的树状图）；也可以同时形成不同的集群（生成唯一的树状图）。

聚类算法的停止准则可以取决于数量（当形成足够少的集群时停止）；也可以取决于距离（当两个集群之间的距离足够远，以至于不能形成新集群时停止）。

分裂层次聚类

DIANA（DIvisive ANAlysis Clustering）是分裂层次聚类的基础算法。 首先，所有元素归属同一个集群，然后分裂集群，直到所有元素都独立成群。由于存在 O ( 2 n ) {displaystyle O(2^{n})} 种方法进行分裂，因此需要启发式（Heuristics）算法实现。DIANA选择平均异同度（Average dissimilarity）最大的元素，然后将所有与新集群相似度高于其余集群的元素划分到该集群。

软件

开源软件

ALGLIB用C++和C#实现了多种层次聚类算法

ELKI实现了多种层次聚类算法

Julia在Clustering.jl包中实现了层次聚类

Octave（GNU对MATLAB的兼容实现）实现了层次聚类（函数linkage）

Orange（一个数据挖掘软件套件）实现了带有交互式树状图可视层次聚类

R有内置的函数和包，提供层次聚类的函数

SciPy在Python中实现了层次聚类

Scikit-learn也在Python中实现了层次聚类

Weka实现了层次聚类

商业软件

MATLAB中有层次聚类分析

SAS在PROC CLUSTER中包含层次聚类分析

Mathematica有一个层次聚类包

NCSS中实现了层次聚类分析

SPSS中包括层次聚类分析

Qlucore Omics Explorer中包括分层聚类分析

Stata中包括层次聚类分析

CrimeStat中实现了近邻层次聚类算法