简介

5阶切比雪夫滤波器在s平面下的极点和零点，后续要用离离散滤波器来近似 离散时间切比雪夫滤波器在z平面下的极点和零点，利用匹配Z变换方法转换到z平面，T = 1/10秒。其中的频率点以及表示频带的点线是透过z=eiωT函数映射的，可以看出s平面的iω是如何映射到z平面的单位圆上匹配Z变换方法（matched Z-transform method）也称为极点-零点映射（pole–zero mapping）或极点－零点匹配法（pole–zero matching method），简称MPZ或MZT，是将连续时间（英语：Discrete_time_and_continuous_time）滤波器转换到离散时间滤波器（数字滤波器）设计的技巧。其作法是将所有的s平面设计时的极点和零点转换到z平面的位置 z = e s T {displaystyle z=e^{sT}} ，其中取样周期 T = 1 / f s {displaystyle T=1/f_{mathrm {s} }} 。因此以下传递函数的类比滤波器： H ( s ) = k a ∏ i = 1 M ( s − ξ i ) ∏ i = 1 N ( s − p i ) {displaystyle H(s)=k_{mathrm {a} }{frac {prod _{i=1}^{M}(s-xi _{i})}{prod _{i=1}^{N}(s-p_{i})}}} 会转换为以下的数位传递函数 H ( z ) = k d ∏ i = 1 M ( 1 − e ξ i T z − 1 ) ∏ i = 1 N ( 1 − e p i T z − 1 ) {displaystyle H(z)=k_{mathrm {d} }{frac {prod _{i=1}^{M}(1-e^{xi _{i}T}z^{-1})}{prod _{i=1}^{N}(1-e^{p_{i}T}z^{-1})}}} 其增益 k d {displaystyle k_{mathrm {d} }} 需调整，使结果为其理想的增益，一般会和类比滤波器的直流增益匹配，透过设定 s = 0 {displaystyle s=0} 及 z = 1 {displaystyle z=1} ，并且求解 k d {displaystyle k_{mathrm {d} }} .。因为此映射会将s平面的 j ω {displaystyle jomega } 轴反复的映射到z平面的单位圆上，若零点或是极点超过奈奎斯特频率，其映射后的位置会有混叠的情形。一般情形下，类比滤波器的极点会比零点多，在 s = ∞ {displaystyle s=infty } 处的零点可以移到奈奎斯特频率，作法是放在 z = − 1 {displaystyle z=-1} 的位置。此转换方式可以保持有界输入有界输出稳定性以及最小相位，但不会保持时域或是频域的响应，因此不常使用。较常使用的方式有双线性转换及冲激不变法。匹配Z变换方法的高频响应误差比双线性转换要小，因此比较容易透过加入额外的零点来修正其特性，此方式称为MZTi（i表示改良版improved）。在数位控制中，匹配Z变换方法有一个特别的应用，就是艾克曼公式（英语：Ackermann’s formula），可以调整可控制性系统的极点，一般会将不稳定（或接近不稳定）的极点调整到稳定的位置。 类比滤波器响应（点线）以及其离散近似值（实线），正规截止频率为1 Hz，取样率1/T = 10 Hz。离散时间的滤波器在截止带没有重现切比雪夫的等涟波特性，原因是重复映射到单位圆上引起的混叠