简介

虚数单位 i {displaystyle i} 在复平面的位置。横轴是实数，竖轴是虚数各种各样的数基本 N ⊆ Z ⊆ Q ⊆ R ⊆ C {displaystyle mathbb {N} subseteq mathbb {Z} subseteq mathbb {Q} subseteq mathbb {R} subseteq mathbb {C} } 正数 R + {displaystyle mathbb {R} ^{+}} 自然数 N {displaystyle mathbb {N} } 正整数 Z + {displaystyle mathbb {Z} ^{+}} 小数有限小数无限小数循环小数有理数 Q {displaystyle mathbb {Q} } 代数数 A {displaystyle mathbb {A} } 实数 R {displaystyle mathbb {R} } 复数 C {displaystyle mathbb {C} } 高斯整数 Z {displaystyle mathbb {Z} } 负数 R − {displaystyle mathbb {R} ^{-}} 整数 Z {displaystyle mathbb {Z} } 负整数 Z − {displaystyle mathbb {Z} ^{-}} 分数单位分数二进分数规矩数无理数超越数虚数 I {displaystyle mathbb {I} } 二次无理数艾森斯坦整数 Z {displaystyle mathbb {Z} } 延伸 二元数四元数 H {displaystyle mathbb {H} } 八元数 O {displaystyle mathbb {O} } 十六元数 S {displaystyle mathbb {S} } 超实数 ∗ R {displaystyle ^{*}mathbb {R} } 大实数上超实数 双曲复数双复数复四元数共四元数（英语：Dual quaternion）超复数超数超现实数 其他 素数 P {displaystyle mathbb {P} } 可计算数基数阿列夫数同余整数数列公称值 规矩数可定义数序数超限数p进数数学常数 圆周率 π = 3.14159265 {displaystyle pi =3.14159265} …自然对数的底 e = 2.718281828 {displaystyle e=2.718281828} …虚数单位 i = − 1 {displaystyle i={sqrt {-{1}}}} 无穷大 ∞ {displaystyle infty } 查论编导航↑2i-1+ii1+i←-2-1012→-1-i-i1-i-2i↓在数学、物理及工程学里，虚数单位是指二次方程 x 2 + 1 = 0 {displaystyle x^{2}+1=0} 的解。虽然没有这样的实数可以满足这个二次方程，但可以通过虚数单位将实数系统 R {displaystyle mathbb {R} } 延伸至复数系统 C {displaystyle mathbb {C} } 。延伸的主要动机为有很多实系数多项式方程式无实数解。例如刚才提到的方程式 x 2 + 1 = 0 {displaystyle x^{2}+1=0} 就无实数解。可是倘若我们允许解答为虚数，那么这方程式以及所有的多项式方程式都有解。虚数单位标记为 i {displaystyle i} ，在电机工程和相关领域中则标记为 j {displaystyle j} ，这是为了避免与电流（记为 i ( t ) {displaystyle i(t)} 或 i {displaystyle i} ）混淆。

定义

… {displaystyle ldots } i − 3 = i {displaystyle {{i}^{-{3}}}=i} i − 2 = − 1 {displaystyle {{i}^{-{2}}}=-1} i − 1 = − i {displaystyle {{i}^{-{1}}}=-i} i 0 = 1 {displaystyle {{i}^{0}}=1} i 1 = i {displaystyle {{i}^{1}}=i} i 2 = − 1 {displaystyle {{i}^{2}}=-1} i 3 = − i {displaystyle {{i}^{3}}=-i} i 4 = 1 {displaystyle {{i}^{4}}=1} i 5 = i {displaystyle {{i}^{5}}=i} i 6 = − 1 {displaystyle {{i}^{6}}=-1} … {displaystyle ldots }

虚数单位 i {displaystyle i} 定义为二次方程式 x 2 + 1 = 0 {displaystyle x^{2}+1=0} 的两个根中的一个。这方程式又可等价表达为：

x 2 = − 1 {displaystyle {{x}^{2}}=-1} 。

由于实数的平方绝不可能是负数，我们假设有这么一个数目解答，给它设定一个符号 i {displaystyle i} 。很重要的一点是， i {displaystyle i} 是一个良定义的数学构造。

另外，虚数单位同样可以表示为：

i = − 1 {displaystyle i={sqrt {-{1}}}}

然而 i = − 1 {displaystyle i={sqrt {-{1}}}} 往往被误认为是错的，他们的证明的方法是：

因为 − 1 = i ⋅ i = ( − 1 ) × ( − 1 ) = ( − 1 ) × ( − 1 ) = 1 = 1 {displaystyle -1=icdot i=left({sqrt {-1}}right)times left({sqrt {-1}}right)={sqrt {left(-1right)times left(-1right)}}={sqrt {1}}=1} ，但是-1不等于1。但请注意： a ⋅ b = a ⋅ b {displaystyle {sqrt {acdot b}}={sqrt {a}}cdot {sqrt {b}}} 成立的条件有 a {displaystyle a} , b {displaystyle b} 不能为负数。

实数运算可以延伸至虚数与复数。当计算一个表达式时，我们只需要假设 i {displaystyle i} 是一个未知数，然后依照 i {displaystyle i} 的定义，替代任何 i 2 {displaystyle i^{2}} 的出现为-1。 i {displaystyle i} 的更高整数幂数也可以替代为 − i {displaystyle -i} ， 1 {displaystyle 1} ，或 i {displaystyle i} ，根据下述方程式：

i 3 = i 2 i = ( − 1 ) i = − i {displaystyle i^{3}=i^{2}i=(-1)i=-i} ， i 4 = i 3 i = ( − i ) i = − ( i 2 ) = − ( − 1 ) = 1 {displaystyle i^{4}=i^{3}i=(-i)i=-(i^{2})=-(-1)=1} ， i 5 = i 4 i = ( 1 ) i = i {displaystyle i^{5}=i^{4}i=(1)i=i} 。

一般地，有以下的公式：

i 4 n = 1 {displaystyle i^{4n}=1} i 4 n + 1 = i {displaystyle i^{4n+1}=i} i 4 n + 2 = − 1 {displaystyle i^{4n+2}=-1} i 4 n + 3 = − i {displaystyle i^{4n+3}=-i} i n = i n mod 4 {displaystyle i^{n}=i^{n{bmod {4}}}}

其中 mod 4 {displaystyle {bmod {4}}} 表示被4除的余数。

i和

–i

方程 x 2 = − 1 {displaystyle x^{2}=-1} 有两个不同的解，它们都是有效的，且互为共轭虚数及倒数。更加确切地，一旦固定了方程的一个解 i {displaystyle i} ，那么 − i {displaystyle -i} （不等于 i {displaystyle i} ）也是一个解，由于这个方程是 i {displaystyle i} 的唯一的定义，因此这个定义表面上有歧义。然而，只要把其中一个解选定，并固定为 i {displaystyle i} ，那么实际上是没有歧义的。这是因为，虽然 − i {displaystyle -i} 和 i {displaystyle i} 在数量上不是相等的（它们是一对共轭虚数），但是 i {displaystyle i} 和 − i {displaystyle -i} 之间没有质量上的区别（-1和+1就不是这样的）。在任何的等式中同时将所有i替换为-i，该等式仍成立。

− i 2 = 1 {displaystyle -i^{2}=1} − i = i − 1 = 1 i {displaystyle -i=i^{-1}={frac {1}{i}}}

正当的使用

虚数单位有时记为 − 1 {displaystyle {sqrt {-1}}} 。但是，使用这种记法时需要非常谨慎，这是因为有些在实数范围内成立的公式在复数范围内并不成立。例如，公式 a ⋅ b = a ⋅ b {displaystyle {sqrt {a}}cdot {sqrt {b}}={sqrt {acdot b}}} 仅对于非负的实数 a {displaystyle a} 和 b {displaystyle b} 才成立。

假若这个关系在虚数仍成立，则会出现以下情况：

− 1 = i ⋅ i = − 1 ⋅ − 1 = ( − 1 ) ⋅ ( − 1 ) = 1 = 1 {displaystyle -1=icdot i={sqrt {-1}}cdot {sqrt {-1}}={sqrt {(-1)cdot (-1)}}={sqrt {1}}=1} （不正确） − 1 = i ⋅ i = ± − 1 ⋅ ± − 1 = ± ( − 1 ) ⋅ ( − 1 ) = ± 1 = ± 1 {displaystyle -1=icdot i=pm {sqrt {-1}}cdot pm {sqrt {-1}}=pm {sqrt {(-1)cdot (-1)}}=pm {sqrt {1}}=pm 1} （不正确） 1 i = 1 − 1 = 1 − 1 = − 1 = i {displaystyle {frac {1}{i}}={frac {sqrt {1}}{sqrt {-1}}}={sqrt {frac {1}{-1}}}={sqrt {-1}}=i} （不正确）

i的运算

虚数单位 i {displaystyle i} 的平方根在复平面的位置

许多实数的运算都可以推广到 i {displaystyle i} ，例如平方根、幂、对数和三角函数。以下运算除第一项外，均为与 i {displaystyle i} 有关的多值函数，在实际应用时必须指明函数的定义选择在黎曼面的哪一支。下面列出的仅仅是最常采用的黎曼面分支的计算结果。

i {displaystyle i} 的平方根为：

± ( 2 2 + 2 2 i ) = ± 2 2 ( 1 + i ) {displaystyle pm left({frac {sqrt {2}}{2}}+{frac {sqrt {2}}{2}}iright)=pm {frac {sqrt {2}}{2}}(1+i)} 这是因为： 2 = ( ± 2 2 ) 2 ( 1 + i ) 2   = 1 2 ( 1 + 2 i + i 2 ) = 1 2 ( 1 + 2 i − 1 ) = i {displaystyle {begin{aligned}left^{2}&=left(pm {frac {sqrt {2}}{2}}right)^{2}(1+i)^{2} \&={frac {1}{2}}(1+2i+i^{2})\&={frac {1}{2}}(1+2i-1)\&=iend{aligned}}} 使用算术平方根符号表示： i = 2 2 ( 1 + i ) {displaystyle {sqrt {i}}={frac {sqrt {2}}{2}}(1+i)} 其解法为先假设两实数 x {displaystyle x} 及 y {displaystyle y} ，使得 ( x + i y ) 2 = i {displaystyle (x+iy)^{2}=i} ，求解 x , y {displaystyle x,y}

一个数的 n i {displaystyle ni} 次幂为：

x n i = cos ⁡ ln ⁡ x n + i sin ⁡ ln ⁡ x n {displaystyle x^{ni}=cos ln x^{n}+isin ln x^{n}} 一个数的 n i {displaystyle ni} 次方根为： x n i = cos ⁡ ln ⁡ x n − i sin ⁡ ln ⁡ x n {displaystyle {sqrt{x}}=cos ln {sqrt{x}}-isin ln {sqrt{x}}} 利用欧拉公式 i i = i = e i 2 ( π 2 + 2 k π ) = e − ( π 2 + 2 k π ) {displaystyle i^{i}=left^{i}=e^{i^{2}({frac {pi }{2}}+2kpi )}=e^{-({frac {pi }{2}}+2kpi )}} ， k ∈ Z {displaystyle kin mathbb {Z} } 代入不同的 k {displaystyle k} 值，可计算出无限多的解。当 k = 0 {displaystyle k=0} 最小的解是 e − π 2 ≈ {displaystyle e^{-{frac {pi }{2}}}approx } 0.20787957635076…

以 i {displaystyle i} 为底的对数为：

log i ⁡ x = 2 ln ⁡ x i π {displaystyle log _{i}x={{2ln x} over ipi }}

i {displaystyle i} 的余弦是一个实数：

cos ⁡ i = cosh ⁡ 1 = e + 1 e 2 = e 2 + 1 2 e ≈ {displaystyle cos i=cosh 1={{e+{frac {1}{e}}} over 2}={{e^{2}+1} over 2e}approx } 1.5430806348152…

i {displaystyle i} 的正弦是纯虚数：

sin ⁡ i = i sinh ⁡ 1 = e − 1 e 2 i = e 2 − 1 2 e i ≈ {displaystyle sin i=isinh 1={{e-{frac {1}{e}}} over 2}i={{e^{2}-1} over 2e}iapprox } 1.1752011936438… i {displaystyle i}

在编程语言

大部分的编程语言都不提供虚数单位，且平方根函数(大多为sqrt()或Math.Sqrt())的引数不可以是负数，因此，必须自行建立类别后方可使用。

但Lisp的许多实现与方言，如Common Lisp，内建虚数和复数的支持。不少动态语言受其影响，也在语言本身或标准库中支持虚数和复数，如Python、Ruby。

一些传统编程语言，如C语言，也从C99开始支持虚数和复数。

在Matlab，虚数单位的表示方法为i或j，但i和j在for循环可以有其他用途。

在Mathematica，虚数单位的表示方法为I、