简介

费希尔-KPP方程的数值模拟。费希尔-柯尔莫哥洛夫方程是以英国统计学家罗纳德·费希尔和俄国数学家安德雷·柯尔莫哥洛夫命名的非线性偏微分方程，常见于热传导、燃烧理论、生物学、生态学等领域。某些文献中又称费希尔-柯尔莫哥洛夫方程为柯尔莫哥洛夫-彼得罗夫斯基-皮斯库诺夫方程（Kolmogorov–Petrovsky–Piskunov equation），或KPP方程，费希尔-KPP方程。费希尔-柯尔莫哥洛夫方程是费希尔方程的推广形式。费希尔-柯尔莫哥洛夫方程的基本形式为： ∂ u ∂ t = D ∂ 2 u ∂ x 2 + a u + b u m {displaystyle {frac {partial u}{partial t}}=D{frac {partial ^{2}u}{partial x^{2}}}+au+bu^{m}} 其中，a、b、D、m为任意常数，且m不等于1。通过重新定义时间的尺度，可以不失一般性地令参数 D 等于1，因此一些文章中直接将形如 u t − u x x + μ u + ν u 2 + δ u 3 = 0 {displaystyle u_{t}-u_{xx}+mu u+nu u^{2}+delta u^{3}=0} 称为KPP方程。其他形似KPP方程的，例如 ∂ u / ∂ t = D 2 ∂ 2 u / ∂ x 2 + f ( u ) {displaystyle {partial u}/{partial t}={frac {D}{2}}{partial ^{2}u}/{partial x^{2}}+f(u)} 和 u t + ( − Δ ) α u = μ ( x ) u − u 2 {displaystyle u_{t}+(-Delta )^{alpha }u=mu (x)u-u^{2}} 被称作“KPP型方程（KPP type equation）”或“费希尔-KPP型方程（Fisher-KPP type equation）”。

解析解

形如 ∂ u ∂ t = D ∂ 2 u ∂ x 2 + a u + b u m {displaystyle {frac {partial u}{partial t}}=D{frac {partial ^{2}u}{partial x^{2}}}+au+bu^{m}} 的KPP方程有以下解析解：

u ( x , t ) = 2 1 − m {displaystyle u(x,t)=^{frac {2}{1-m}}}

其中，

λ = a ( 1 − m ) ( m + 3 ) 2 ( m + 1 ) {displaystyle lambda ={frac {a(1-m)(m+3)}{2(m+1)}}} μ = a ( 1 − m ) 2 2 ( m + 1 ) {displaystyle mu ={sqrt {frac {a(1-m)^{2}}{2(m+1)}}}} β = − b a {displaystyle beta ={sqrt {-{frac {b}{a}}}}} @media all and (max-width:720px){.mw-parser-output .mod-gallery{width:100%!important}}.mw-parser-output .mod-gallery{display:table}.mw-parser-output .mod-gallery-default{background:transparent;margin-top:0.3em}.mw-parser-output .mod-gallery-center{margin-left:auto;margin-right:auto}.mw-parser-output .mod-gallery-left{float:left}.mw-parser-output .mod-gallery-right{float:right}.mw-parser-output .mod-gallery-none{float:none}.mw-parser-output .mod-gallery-collapsible{width:100%}.mw-parser-output .mod-gallery .title,.mw-parser-output .mod-gallery .main,.mw-parser-output .mod-gallery .footer{display:table-row}.mw-parser-output .mod-gallery .title>div{display:table-cell;padding:0.2em 0 0.6em 1.6em;text-align:center;font-weight:bold}.mw-parser-output .mod-gallery .main>div{display:table-cell}.mw-parser-output .mod-gallery .gallery{line-height:1.35em}.mw-parser-output .mod-gallery .footer>div{display:table-cell;padding:0.2em 0 0.6em 1.6em;text-align:right;font-size:80%;line-height:1em}.mw-parser-output .mod-gallery .title>div *,.mw-parser-output .mod-gallery .footer>div *{overflow:visible}.mw-parser-output .mod-gallery .gallerybox img{background:none!important}.mw-parser-output .mod-gallery .bordered-images .thumb img{border:solid #eaecf0 1px}.mw-parser-output .mod-gallery .whitebg .thumb{background:#fff!important}KPP方程的解

行波图

利用Maple的TWSolutions软件包，当m = 2时，可以得到如下的行波图:

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注释

^ Graham所着的《Traveling wave analysis of partial differential equations : numerical and analytical methods with MATLAB and Maple》一书中第八章提到的“Fisher–Kolmogorov Equation”实际上是第十章“Kolmogorov–Petrovskii–Piskunov Equation”（即下式）在 D = 1、a = 1、b = -1、m = q + 1 时的特殊情况。