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  • 线性方程的矩阵形式
  • 列向量和行向量
  • 矩阵转置
  • 向量的乘积
  • 矩阵乘法
  • 矩阵转置的一些性质
  • 矩阵求逆

必修数学知识:一元一次，二次方程的解，初中代数基础。

将要使用的标记

读者:高三学生、高中生、专科生及其他数学爱好者。讲解矩阵、增广矩阵、矩阵乘法、转置、行列向量、求矩阵逆矩阵等基本矩阵运算。用线性方程导入。力求推理清晰，核心点明确。下一篇文章会有矩阵和几何变换。

线性方程的矩阵形式

一元线性方程

将解决方案写成:

二元线性方程组

解不能写成一元方程那么简单。我们通过例子来看一下。

称为2X2的矩阵

称为列向量，常数项也可以表示为

利用矩阵和列向量的概念，二元方程和一元方程可以写成相同的形式。二元方程写成了

形式与一元方程相同。为了使解决方案在形式上相同，必须有

如果AX可以对应方程的形式，就需要把A的第一行的每个元素和X的每个元素相加，作为第一个方程的左侧，把A的第二行的每个元素和X的每个元素相加，作为第二个方程的左侧。代数上，列向量将形成如下:

这是矩阵与列向量相乘的基本规则。简单背下来就是行和列成对相乘，然后相加。

1.计算

我们发现，

乘以任意列向量，结果保持不变。我们把这种主对角线都是1，其他元素都是0的特殊矩阵称为酉矩阵，类似于数字“1”。标记为I

复制

在那里

那么解方程的过程可以正式写成

这个A-1称为矩阵a的逆矩阵

如果我们把X，C推广到三元列向量，把A推广到3×3矩阵，上面的过程还是可以用的，矩阵和列向量的乘法规则不变。为了使我们介绍的方案具有可操作性，我们需要矩阵的逆矩阵、矩阵与列向量的乘法、矩阵与矩阵的乘法。先说这些概念和方法。

列向量和行向量

是一个列向量，我们也可以定义一个行向量。

矩阵转置

WW可以看做W行和W列对齐的形成，也叫换位。对于一个矩阵A，我们也可以定义它的转置，这也是对齐的行和列的转置。

向量的乘积

我们可以定义行向量和列向量的数积，也称为内积，如下所示

矩阵乘法

a是一个矩阵，A-1当然也是一个矩阵。通常，两个2×2矩阵A和B的乘积可以这样扩展。

b看作是两个列向量水平拼接而成的数数组，A看作是两个行向量垂直拼接而成的数数组。

AB的乘积也是一个2×2矩阵。那么AB的第一行第一列的元素是A的第一行向量和B的第一列向量的乘积，第二行的第一个元素是A的第二行向量和B的第一列向量的乘积，第二行的第二个元素是A的第二行向量和B的第二列向量的乘积，我们也可以用上面的方法定义nxn的两个矩阵A和B的乘积。产品的第I行和第j列中的元素是

矩阵乘法符合结合律。

但是

因此

矩阵相乘不符合交换律。例如

矩阵转置的一些性质

根据换位的定义。

证明如下

最后，我们讨论了矩阵求逆的方法，这是本文的重点和难点。

矩阵求逆

矩阵的核心思想之一就是用矩阵作用于矩阵。

会让x，y交换，这就是矩阵的作用。设r是一个n×n矩阵，如果对角线上的元素被去掉

其他位置都是0。

作用于任何nxn矩阵都会使其I行和J行互换。以及一个主对角线都为1，I行，J列元素为1，其他元素为0的矩阵。

矩阵作用于nxn会导致第I行是第I行和第J行的对位和，其余相同。如果

在第一行中，将出现第一行和第二行之间的对齐差异。

将矩阵I的元素变为

其他主对角线元素仍然是1，所以当应用于任何nxn矩阵时，矩阵第I行的每个元素都变大a倍，其余保持不变。这样，我们就可以精心设计一套矩阵R1、R2、…，RN，并将n×n矩阵A变成酉矩阵。每一次矩阵乘法只是模拟了消元法求解方程。

所以我们有

也就是说，我们可以按照下面的程序求矩阵的逆矩阵。

第一步，将nxn的矩阵A展开成一个新的矩阵。前N列保持不变，后N列增加。增加的N列正好形成一个矩阵。这个扩展后的新矩阵称为原矩阵的增广矩阵。

在第二步中，您可以对任意行中的所有元素进行乘法和除法运算。

你也可以增加或减少任意两行来替换其中任何一行。

第三步，如果前n列已经是酉矩阵，或者主对角线除了1都是0，其他地方的元素都是0，则流程终止，否则重复第二步。

第四步:如果前面N列已经成为酉矩阵，那么后面N列形成的矩阵就是a的逆矩阵。

例2，提问

的逆矩阵

解决方案:

因此

以上程序可以帮助我们随时解方程组。当然，具体程序中还有很多技巧，不在我们讲解的范围之内。