增函数除以增函数是一个很基础的函数，是数学中的一个重要概念。在本文中，我们将从定义、性质两个方面进行详细的介绍，并给出相关的代码示例。

一、增函数和增函数除以增函数的定义

1、增函数

对于一个定义域为实数集的函数 f(x)，如果对于任意的 x1,x2(x1<x2)都有 f(x1)<f(x2)，即当 x 增大时，函数值也随之增大，称 f(x) 在该定义域上为增函数。

def is_IncreaseFunc(f):
    """
    判断是否为增函数
    """
    x1, x2 = random.sample(range(-100, 100), 2)
    if x1 < x2:
        if f(x1) < f(x2):
            return True
        else:
            return False
    else:
        return is_IncreaseFunc(f)

2、增函数除以增函数

设函数 f(x) 和 g(x) 在定义域上都是增函数，且 g(x) 的值域不包含 0，则 g(x) ≠ 0 时，函数 h(x)=f(x)/g(x) 也是增函数。

def is_IncreaseFuncDivide(f, g):
    """
    判断 f(x)/g(x) 是否为增函数
    """
    x1, x2 = random.sample(range(-100, 100), 2)
    if x1 < x2:
        if f(x1) / g(x1) < f(x2) / g(x2):
            return True
        else:
            return False
    else:
        return is_IncreaseFuncDivide(f, g)

二、增函数除以增函数的性质

1、定义域与值域

h(x) 的定义域为两个增函数定义域的交集，即 Dom(h) = Dom(f) ∩ Dom(g)，值域为(-∞,∞)。

def Dom_of_h(Dom_f, Dom_g):
    """
    计算增函数除以增函数的定义域
    """
    return [max(Dom_f[0], Dom_g[0]), min(Dom_f[1], Dom_g[1])]

def Range_of_h():
    """
    增函数除以增函数的值域为(-∞,∞)
    """
    return "(-∞,∞)"

2、导函数的求解

根据定义，导数 h'(x) 的值等于 f'(x) * g(x) – f(x) * g'(x) / g(x)^2，因此需要对 f(x) 和 g(x) 分别求导。

def h_prime(f, g, x):
    """
    计算增函数除以增函数的导函数
    """
    numerator = f_prime(f, x) * g(x) - f(x) * g_prime(g, x)
    denominator = g(x)**2
    return numerator / denominator

def f_prime(f, x):
    """
    计算 f(x) 的导数
    """
    h = 0.0000001
    return (f(x+h) - f(x-h)) / (2*h)

def g_prime(g, x):
    """
    计算 g(x) 的导数
    """
    h = 0.0000001
    return (g(x+h) - g(x-h)) / (2*h)

三、小结

在本文中，我们介绍了增函数和增函数除以增函数的定义及其性质，并提供了相应的代码示例。希望本文可以帮助读者更好地理解增函数除以增函数的概念和相关算法。