一、基础知识

矩阵是一个经常在运算中涉及到的概念，它由行和列组成。在Matlab中可以通过用方括号将元素括起来表示矩阵。例如：

A = [1 2 3;
     4 5 6;
     7 8 9]

矩阵除法是指在Matlab中求解线性方程组的方法，可以帮助我们解决方程组问题。Matlab中提供了两种矩阵除法运算方式，一种是左除（），另一种是右除（/）。

二、左除运算

左除运算（）在解决形如Ax=B的线性方程组时很常用。其中，A是一个矩阵，x是一个向量，B也是一个向量。

左除运算的语法格式为：x=AB，或者x=inv(A)*B。当A矩阵为非奇异矩阵时，x的值就可以通过左除运算求解出来。

例如，我们有如下的线性方程组：

2x+3y=9
4x+5y=13

将其转化为矩阵形式：

|2 3|   |x|   |9|
|4 5| * |y| = |13|

用左除运算求解：

A = [2 3; 4 5];
B = [9; 13];
x = AB

结果为：

x = 

   -2
    3

这就是该线性方程组的解。

三、右除运算

右除运算（/）可以用来求解形如xA=B的线性方程组。其中，A是一个矩阵，x是一个向量，B也是一个向量。

右除运算的语法格式为：x=B/A，或者x=B*inv(A)。当A矩阵为非奇异矩阵时，x的值就可以通过右除运算求解出来。

例如，我们有如下的线性方程组：

2x+3y=9
4x+5y=13

将其转化为矩阵形式：

|2 3|   |x|   |9|
|4 5| * |y| = |13|

用右除运算求解：

A = [2 3; 4 5];
B = [9; 13];
x = B/A

结果为：

x =
   -2   3

这就是该线性方程组的解，注意这里得到的不是列向量，而是一个行向量。

四、LU分解

LU分解是将一个矩阵分解为一个下三角矩阵L和一个上三角矩阵U的乘积A=LU的形式。这样，在求解线性方程组时就可以先求解Ly=B，再求解Ux=y。

在Matlab中，可以使用 lu 函数进行LU分解的计算。

例如，我们有如下的矩阵：

A = [3 7 2;
     6 4 8;
     9 5 1]

可以使用lu函数分解：

[L,U] = lu(A)

得到L和U矩阵：

L =
    0.3333    1.0000         0
    0.6667   -0.2000   1.0000
    1.0000   -0.6000   0.7143

U =
    9.0000    5.0000    1.0000
         0    5.6667    7.6667
         0         0   -1.2857

然后，我们可以使用L和U矩阵求解线性方程组：

B = [1; 2; 3];
y = LB
x = Uy

得到的解为：

y =
   -2.0000
    0.0000
    4.7143

x =
    1.0000
   -0.8000
    2.0000

五、QR分解

QR分解是将一个矩阵分解为一个正交矩阵Q和一个上三角矩阵R的乘积A=QR的形式。这样，在求解线性方程组时就可以先求解Rx=Q’B。

在Matlab中，可以使用 qr 函数进行QR分解的计算。

例如，我们有如下的矩阵：

A = [2 -1 2;
     1 0 1;
     -1 1 -1;
     2 -1 0]

可以使用qr函数分解：

[Q,R] = qr(A)

得到Q和R矩阵：

Q =
   -0.5000    0.6533    0.3838         0
   -0.2500   -0.2717    0.8452    0.3586
    0.2500    0.3696    0.3386   -0.8187
   -0.5000    0.6064   -0.2060   -0.4916

R =
   -4.0000    1.5000   -0.5000
         0    1.3229    1.3229
         0         0    2.1602

然后，我们可以使用Q和R矩阵求解线性方程组：

B = [1; 2; 3; 4];
Qb = Q'*B;
x = RQb

得到的解为：

x =
    0.7857
    3.4286
    0.0714

六、总结

在Matlab中，矩阵除法可以帮助我们求解线性方程组的问题，包括左除运算和右除运算。此外，还有LU分解和QR分解等方法可以用于线性方程组求解。

总之，熟练掌握Matlab的矩阵除法运算以及相应的分解方法，可以有效地解决线性方程组的问题。