[实变函数]4.1 可测函数 (measurable function) 及其性质
1 记号 (notations)
(1) 广义实数: $overline{bR}=bRcupsed{-infty}cupsed{+infty}$.
(2) 本章主要考虑 $$ex f:E o overline{bR}, eex$$
其中 $E$ 是可测集, 而把 $$ex f:E o bR eex$$
称为有限函数.
注意: 有限函数、有界函数的区别.
(3) $$ex E[f>c]=sed{xin E;f(x)>a}quadsex{xmbox{ 是哑巴}}. eex$$
2 可测函数的定义: $$ex f:E o overline{bR}mbox{ 可测}lra forall cinbR, E[f>c]mbox{ 可测}. eex$$
(1) 例 1: $dps{D(x)}$ 可测: $$ex overline{bR}[D>c]=sedd{a{ll} vno,&cgeq 1,\ bQ,&0leq c<1,\ bR,&c<0. ea}. eex$$
(2) 例 2: $E=(a,b)$ 上的连续函数、单调函数可测: $$ex fmbox{ 连续}a E[f>c] mbox{ 是开集}; eex$$ $$ex fmbox{ 单增}a E[f>c] mbox{ 是区间}. eex$$
注: 区间 $I$ 的意思是: $a,bin I, a<ba [a,b]in I$.
3 可测函数的等价定义: $$ex fmbox{ 可测}lra sedd{a{ll} (1)&forall c, E[fgeq c]mbox{ 可测},\ (2)&forall c, E[f<c] mbox{ 可测},\ (3)&forall c, E[fleq cmbox{ 可测},\ (4)&forall -infty<a<b<+infty, E[aleq f<b]mbox{ 可测},\ &(ambox{ 需要 }f mbox{ 是有限函数}). ea} eex$$
证明: $$ex E[fgeq c]=cap_{i=1}^infty Esez{fgeq c-frac{1}{i}}, eex$$ $$ex E[f>c]=cup_{i=1}^infty Esez{fgeq c+frac{1}{i}}, eex$$ $$ex E[aleq f<b]=E[fgeq a]-E[fgeq b], eex$$ $$ex fmbox{ 有限}a E[fgeq a]=cup_{i=1}^infty E[aleq f<a+i]. eex$$
(1) 推论: $E[f=c]$ 可测.
证明: $$ex cinbRa E[f=c]=E[fgeq c]-E[f>c], eex$$ $$ex c=+inftya E[f=c]=cap_{i=1}^infty E[f>i], eex$$ $$ex c=-inftya E[f=c]=cap_{i=1}^infty E[f<-i]. eex$$
4 重要的可测函数类 I—连续函数类
(1) $f: E o overline{bR}$ 在点 $x_0in E$ 处连续, 如果 $f(x_0)inbR$, 且 $$ex forall ve>0, exists delta>0,st xin Ecap B(x_0,delta)a |f(x)-f(x_0)|<ve. eex$$
注: $f$ 在 $E$ 的孤立点上连续.
(2) 设 $f:E ooverline{bR}$ 连续, 则 $f$ 可测.
证明: 由 $$ex xin E[f>c]&a f(x)>c a exists delta_x>0,st Ecap B(x,delta_x)subset E[f>c] eex$$
知 $$ex E[f>c]=cup_{xin E[f>c]}sez{Ecap B(x,delta_x)} =sez{cup_{xin E[f>c]}B(x,delta_x)}cap E. eex$$
5 重要的可测函数类 II—简单函数类
(1) 设 $f$ 在 $E$ 上可测, $ ilde E(subset E)$ 可测, 则 $f$ 在 $ ilde E$ 上的限制 $f: ilde E ooverline{bR}$ 也
可测: $$ex ilde E[f>c]= ilde Ecap E[f>c]. eex$$
(2) $f$ 在 $sed{E_i}_{i=1}^j$ 上可测 $a f$ 在 $dps{E=cup_{i=1}^j}$ 上可测: $$ex E[f>c]=cup_{i=1}^j E_i[f>c]. eex$$
(3) 简单函数: 设 $sed{E_i}_{i=1}^j$ 两两不交, 可测, $$ex f:E=cup_{i=1}^j E_i o overline{bR} eex$$
使得 $f(x)=c_i, xin E_i$, 则称 $f$ 为简单函数, 记作 $$ex f(x)=sum_{i=1}^j c_ichi_{E_i}(x),quad xin E. eex$$
(4) 例: $D(x)$ 是 $bR$ 上的简单函数.
(5) 简单函数可测.
6 可测函数的四则运算
(1) $f,g$ 可测 $dps{a -f,fpm g, |f|,frac{1}{f}, f^2,fcdot g}$ 可测.
证明: $$eex ea E[-f>c]&=E[f<-c];\ E[f+g>c]&=E[f>c-g]\ &=cup_{rinbQ}sex{E[f>r]cap E[r>c-g]}\ &=cup_{rinbQ}sex{E[f>r]cap E[g>c-r]};\ f-g&=f+(-g);\ Esez{frac{1}{f}>c} &=sedd{a{ll} E[f>0]cap Esez{f<frac{1}{c}},&c>0\ E[f>0]s E[f=+infty],&c=0\ E[f>0]cup Esez{f<frac{1}{c}},&c<0 ea};\ E[f^2>c]&=sedd{a{ll} E[f>sqrt{c}]cup E[f<-sqrt{c}],&cgeq 0\ E,&c<0 ea};\ fcdot g&=frac{1}{4}[(f+g)^2-(f-g)^2]. eea eeex$$
(2) 推论: $$ex fmbox{ 可测}lra mbox{正部 }f^+=maxsed{f,0},mbox{ 负部 }f^-=-minsed{f,0}, mbox{ 可测}. eex$$
证明: $a$ $$ex f^+=frac{|f|+f}{2},quad f^-=frac{|f|-f}{2}. eex$$
$la$ $f=f^+-f^-$.
7 可测函数的极限运算:
(1) $$ex f_imbox{ 可测}a m(x)=inf_{igeq 1}f_i(x), M(x)=sup_{igeq 1}f_i(x)mbox{ 可测}: eex$$ $$eex ea E[mgeq c]&=cap_{i=1}^infty E[f_igeq c];\ E[Mleq c]&=cap_{i=1}^infty E[f_ileq c]. eea eeex$$
(2) $$ex f_imbox{ 可测}a varliminf_{i oinfty}f_i, varlimsup_{i oinfty}f_imbox{ 可测}: eex$$ $$ex varliminf_{i oinfty}f_i =sup_{igeq 1}inf_{jgeq i}f_j,quad varlimsup_{i oinfty}f_i =inf_{igeq 1}sup_{jgeq i}f_j. eex$$
8 可测函数与简单函数的关系:
(1) $$ex fmbox{ 非负可测}a existsmbox{ 简单函数列 }sed{phi_k},st phi_k
earrow f. eex$$
证明: 取 $$eex ea E_{k,j}&=Esez{frac{j-1}{2^k}leq f<frac{j}{2^k}},quad j=1,2,cdots,k2^k;\ E_k&=E[fgeq k],quad k=1,2,cdots. eea eeex$$
后, 作 $$ex phi_k(x)=sedd{a{ll} frac{j-1}{2^k},&xin E_{k,j},\ k,&xin E_k. ea}. eex$$
则 $phi_k$ 为简单函数, 且 $$ex phi_kleq phi_{k+1}leq f: eex$$ $$eex ea xin E_{k,j}&a frac{j-1}{2^k}leq f(x)<frac{j}{2^k}\ &a frac{2j-2}{2^{k+1}}leq f(x)<frac{2j}{2^{k+1}}\ &a frac{2j-2}{2^{k+1}}leq f(x)<frac{2j-1}{2^{k+1}}mbox{ 或 } frac{2j-1}{2^{k+1}}leq f(x)<frac{2j}{2^{k+1}}\ &a phi_{k+1}(x)=frac{2j-2}{2^{k+1}}mbox{ 或 }frac{2j-1}{2^{k+1}}geq frac{j-1}{2^k}=phi_k(x),\ xin E_k&a f(x)geq k\ &a f(x)geq k+1mbox{ 或 }frac{j-1}{2^{k+1}}leq f(x)<frac{j}{2^{k+1}}\ &quadsex{j=(k+1)2^{k+1},cdots,k2^{k+1}+1}\ &a phi_{k+1}(x)=k+1mbox{ 或 } frac{j-1}{2^{k+1}}geq k=phi_k(x). eea eeex$$
往证 $phi_k o f$:
若 $f(x)=+infty$, 则 $phi_k(x)=k$;
若 $f(x)<+infty$, 则当 $k>f(x)$ 时, $$ex 0leq f(x)-phi_k(x)<frac{1}{2^k}. eex$$
(2) $$ex fmbox{ 可测}a exists mbox{ 简单函数列 }phi_k,st phi_k o f. eex$$
证明: $$ex a{ccccc} f&=&f^+&-&f^-\ uparrow&&uparrow&&uparrow\ phi_k&=&phi_{1k}&-&phi_{2k} ea. eex$$
(3) $$ex fmbox{ 有界可测}a existsmbox{ 简单函数列 }sed{phi_k},st phi_kightrightarrows f. eex$$
证明: 设 $|f|leq M$, 则当 $k>M$ 时, $$ex |f^+-phi_{1k}|<frac{1}{2^k},quad |f^–phi_{2k}|<frac{1}{2^k}, eex$$
而 $$ex |f-phi_k|<frac{1}{2^{k-1}}. eex$$
(4) 总结: $$ex mbox{ 非负可测}ambox{单调逼近};quadmbox{可测}a mbox{点点逼近};quad mbox{有界可测}a mbox{一致逼近}. eex$$
9 一个定义: 设 $E$ 是集合, $pi$ 是命题, 若 $$ex exists Zsubset E, mZ=0,st pimbox{ 在 }Es Zmbox{ 上成立}, eex$$
则称 $pi$ 在 $E$ 上几乎处处成立, 记作 $pi ae$ 于 $E$ (almost everywhere).
(1) 例 1: $| an x|<infty$ $ae$ 于 $bR$.
(2) 例 2: $D(x)=0$, $ae$ 于 $bR$.
(3) $$ex left.a{ll} pi_1,aembox{ 于 }E\ pi_2,aembox{ 于 }E eaight}a pi_1cap pi_2,aembox{ 于 }E. eex$$
(4) 例: 若 $f=g$, $ae$ 于 $E$; $g=h$, $ae$ 于 $E$, 则 $f=h$, $ae$ 于 $E$.
10 作业: Page 94, T 2.
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