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定义:
设G = (V, E)是一个有向图,如果具有下述性质
(1)G中不包含有向环;
(2)存在一个顶点vi,它不是任何弧的终点,而V的其它顶点都恰好是唯一的一条弧的终点.则称 G是以vi为根的树形图.
最小树形图就是有向图G = (V, E)中以vi为根的树形图中权值的和最小的那一个.
用朱刘算法求最小树形图:
最小树形图基于贪心和缩点的思想,所谓缩点,就是将几个点看成一个点,所有连到这几个点的边都视为连到收缩点,所有从这几个点连出的边都视为从收缩点连出.这里假设根节点为V0.
(1)求最短弧集合E0.
从所有以Vi(i ≠ 0)为终点的弧中取一条最短的,若对于点i,没有入边,则不存在最小树形图,算法结束;如果能取,则得到由n个点和n-1条边组成的图G的一个子图G’,这个子图的权值一定是最小的,但是不一定是一棵树.
(2)检查E0.
若E0没有有向环且不包含收缩点,则计算结束,E0就是G以V0为根的最小树形图,若E0没有有向环,但是存在收缩点,转到步骤(4),若E0含有有向环,则转入步骤(3).
(3)收缩G中的有向环.
把G中的环C收缩成点u,对于图G中两端都属于C的边就会被收缩掉,其他弧仍然保留,得到一个新的图G1,G1中以收缩点为终点的弧的长度要变化,变化的规则是:设点v在环C中,且环中指向v的边的权值为w,点v’不在环C中,则对于G中的每一条边<v’, v>,在G1中有边<v’, u>和其对应,且权值WG1(<v’, u>) = WG(<v’, v>) – w;对于图G中以环C中的点为起点的边<v’, v>,在图G1中有边<u, v’>,则WG1(<u, v’>) = WG(<v’, v>).有一点需要注意,在这里生成的图
G1可能存在重边.
对于图G和G1:
<1>:如果图G1中没有以v0为根的最小树形图,则图G也没有.
<2>:如果G1中有一v0为根的最小树形图,则可按照步骤(4)的展开方法得到图G的最小树形图.
所以,应该对于图G1代到(1)中反复求其最小树形图,直到G1的最小树形图u求出.
(4)展开收缩点.
假设图G1的最小树形图为T1,那么所有T1中的弧都属于图G的最小树形图T.将G1的一个收缩点u展开成环C,从C中去掉与T1具有相同终点的弧,其他弧都属于T.
总结一下,为了求一个图的最小树形图,先求出最短弧集合E0.如果E0不存在,则图的最小树形图也不存在.如果E0存在且不具有环,则E0就是最小树形图.如果E0存在但是存在有向环,则把这个环收缩成一个点u,形成新的图G1,然后对于G1继续求其的最小树形图,直到求到图Gi.如果Gi不具有最小树形图,那么此图不存在最小树形图,如果Gi存在最小树形图,那么逐层展开,就得到了原图的最小树形图.
下面有张图:
第一幅图为原始图G,首先对于图G求其最短弧集合E0,即第二幅图G1.然后检查E0是满足条件,在这里,可以看到G1具有两个环,那么把这两个环收缩,如第三幅图所示,U1,U2分别为收缩后的点,然后对应的权值进行更新,起点是环中的点,终点是环外的点,则权值不变,反之,起点是环外的点,终点是环内的点,则权值应该减去E0中指向环内点的权值,形成新的图,如第三幅图.对于其反复求最小树形图,直到不存在最小树形图,或者求得缩点后的图的最小树形图,然后展开就好了,如第六幅图.
如果只要求计算权值的话,则不需要展开,所有环中权值的和加上其他各个点与点之间,或者收缩点和点之间的权值就是总的权值.
代码:
1 #include <iostream> 2 #include <cmath> 3 #include <cstdio> 4 #include <cstring> 5 #include <cstdlib> 6 #include <algorithm> 7 #include <string> 8 typedef long long LL; 9 using namespace std; 10 const int MAXV = 100; 11 const int MAXE = 10000; 12 const int INF = 0x3f3f3f3f; 13 14 //求具有V个点,以root为根节点的图map的最小树形图 15 int zhuliu(int root, int V, int map[MAXV + 7][MAXV + 7]){ 16 bool visited[MAXV + 7]; 17 bool flag[MAXV + 7];//缩点标记为true,否则仍然存在 18 int pre[MAXV + 7];//点i的父节点为pre[i] 19 int sum = 0;//最小树形图的权值 20 int i, j, k; 21 for(i = 0; i <= V; i++) flag[i] = false, map[i][i] = INF; 22 pre[root] = root; 23 while(true){ 24 for(i = 1; i <= V; i++){//求最短弧集合E0 25 if(flag[i] || i == root) continue; 26 pre[i] = i; 27 for(j = 1; j <= V; j++) 28 if(!flag[j] && map[j][i] < map[pre[i]][i]) 29 pre[i] = j; 30 if(pre[i] == i) return -1; 31 } 32 for(i = 1; i <= V; i++){//检查E0 33 if(flag[i] || i == root) continue; 34 for(j = 1; j <= V; j++) visited[j] = false; 35 visited[root] = true; 36 j = i;//从当前点开始找环 37 do{ 38 visited[j] = true; 39 j = pre[j]; 40 }while(!visited[j]); 41 if(j == root)continue;//没找到环 42 i = j;//收缩G中的有向环 43 do{//将整个环的取值保存,累计计入原图的最小树形图 44 sum += map[pre[j]][j]; 45 j = pre[j]; 46 }while(j != i); 47 j = i; 48 do{//对于环上的点有关的边,修改其权值 49 for(k = 1; k <= V; k++) 50 if(!flag[k] && map[k][j] < INF && k != pre[j]) 51 map[k][j] -= map[pre[j]][j]; 52 j = pre[j]; 53 }while(j != i); 54 for(j = 1; j <= V; j++){//缩点,将整个环缩成i号点,所有与环上的点有关的边转移到点i 55 if(j == i) continue; 56 for(k = pre[i]; k != i; k = pre[k]){ 57 if(map[k][j] < map[i][j]) map[i][j] = map[k][j]; 58 if(map[j][k] < map[j][i]) map[j][i] = map[j][k]; 59 } 60 } 61 for(j = pre[i]; j != i; j = pre[j]) flag[j] = true;//标记环上其他点为被缩掉 62 break;//当前环缩点结束,形成新的图G',跳出继续求G'的最小树形图 63 } 64 if(i > V){//如果所有的点都被检查且没有环存在,现在的最短弧集合E0就是最小树形图.累计计入sum,算法结束 65 for(i = 1; i <= V; i++) 66 if(!flag[i] && i != root) sum += map[pre[i]][i]; 67 break; 68 } 69 } 70 return sum; 71 }
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