方法定义

一般地，假设原命题不成立， (即在原命题的条件下，结论不成立)，经过正确的推理，最后得出矛盾，因此说明假设错误，从而证明了原命题成立，这样的证明方法叫做反证法．

适用范围

正难则反的情形；

正面情形多于反面情形；

常用于“至多”型、“至少”型命题、“唯一性”命题、“存在性”命题的证明。

推出矛盾

与题目的已知条件矛盾，

与已知的公理、定理、定义矛盾，

与临时假定矛盾

自相矛盾

否定形式

比如给定命题(p)：若(xge 0)且(yge 0)，则(x+yge 0)；

命题的否定，(p)的否定形式：若(xge 0)且(yge 0)，则(x+y< 0)；(假命题)

命题的否命题(
eg p)：若(x<0)或(y<0)，则(x+y<0)；(假命题)

常见的正面词语的否定形式

典例剖析

例1【正面情形多，不好说明的】已知(age -1)，求证三个方程：(x^2+4ax-4a+3=0)，(x^2+(a-1)x+a^2=0)，(x^2+2ax-2a=0)中至少有一个方程有实数根。

分析：若从正面思考，那么应该有七种情形，比如三个方程中仅仅有一个有实根的有三种情形，有两个方程有实根的有三种情形，三个方程都有实根的有一种情形，

那么从正面入手计算，其情形比如会很复杂，故这样的题目往往选择反证法。

解析：使用反证法，假设三个方程都没有实数根，则其必然满足

(left{egin{array}{l}{(4a)^2-4(-4a+3)<0}\{(a-1)^2-4a^2<0}\{(2a)^2-4 imes (-2a)<0}end{array}ight.) (Rightarrow) (left{egin{array}{l}{-cfrac{3}{2}<a<cfrac{1}{2}}\{a>cfrac{1}{3}或a<-1}\{-2<a<0}end{array}ight.)

即(-cfrac{3}{2}<a<-1)，这与已知(age -1)矛盾，

所以假设不成立，故原命题成立。即三个方程中至少有一个方程有实数根。

例2

已知(f(x)=ax^2+bx+c)，若(a+c=0)，(f(x))在([-1，1])上的最大值为(2)，最小值为(-cfrac{5}{2})。

求证：(a
eq 0)且(|cfrac{b}{a}|<2)。

证明：假设(a= 0)或(|cfrac{b}{a}|ge 2) ，

(1)当(a=0)时，由(a+c=0)，得到(f(x)=bx)，显然(b
eq 0)，

由题意可得，(f(x)=bx)在区间([-1，1])上是单调函数，

故(f(x))的最大值为(|b|)，最小值为(-|b|)，故最值之和为(|b|-|b|=0)，

而又题目可知，最值之和为(2-cfrac{5}{2}=-cfrac{1}{2})，和已知矛盾。

故(a
eq 0)。

(2)当(|cfrac{b}{a}|ge 2)时，由二次函数的对称轴为(x=-cfrac{b}{2a})可知，(|x|=cfrac{1}{2}|cfrac{b}{a}|ge 1)，

故(f(x))在区间([-1，1])上是单调函数，其最值在端点处取到，所以有

(left{egin{array}{l}{f(1)=a+b+c=2}\{f(-1)=a-b+c=-cfrac{5}{2}}end{array}ight.)或(left{egin{array}{l}{f(1)=a+b+c=-cfrac{5}{2}}\{f(-1)=a-b+c=2}end{array}ight.)

结合(a+c=0)，解得(b=2)且(b=cfrac{5}{2})或(b=-2)且(b=-cfrac{5}{2})，这是不可能的。

所以(|cfrac{b}{a}|<2)

故由(1)(2)可知， 得到(a
eq 0)且(|cfrac{b}{a}|<2)。

引申：还可以证明函数(f(x))的对称轴必然会在区间([-1，1])内；或者证明(|b|<2|a|)；或者证明函数(f(x))在区间([-1，1])上不单调。

例3设(x，y，z>0)，则三个数(cfrac{y}{x}+cfrac{y}{z})，(cfrac{z}{x}+cfrac{z}{y})，(cfrac{x}{z}+cfrac{x}{y})【】

$A.都大于2$ $B.至少有一个大于2$ $C.至少有一个不小于2$ $D.至少有一个不大于2$

分析：假设三个数都小于(2)，

则(cfrac{y}{x}+cfrac{y}{z}+cfrac{z}{x}+cfrac{z}{y}+cfrac{x}{z}+cfrac{x}{y}<6)，

又由于(cfrac{y}{x}+cfrac{y}{z}+cfrac{z}{x}+cfrac{z}{y}+cfrac{x}{z}+cfrac{x}{y}=(cfrac{y}{x}+cfrac{x}{y})+(cfrac{z}{x}+cfrac{x}{z})+(cfrac{y}{z}+cfrac{z}{y})ge 6)

这与假设矛盾，故假设不成立，即三个数不都小于(2)，即至少有一个不小于(2)，故选(C)。