首先，为什么要在数学中引入坐标系？

坐标的本质是为了便于定位，数学中的坐标也不例外。 作为数学的重要概念，坐标系是用代数方法研究几何问题最有力的工具。 用坐标表示几何要素(点、线、面、体)，应用代数化的方程式、运算等测量几何，达到处理几何问题的目标。 例如，

将一个三角形置于坐标系中，确定三角形的三个顶点坐标后，就可以应用两点距离公式简单地计算出边的长度、面积等。

在平面直角坐标系中，y=kx b表示直线，x2 y2=r2表示圆。 通过计算从原点到直线的距离并与圆的半径r进行比较，可以容易地判断直线和圆的位置关系。 等等。

接下来，谈谈高等数学中常用的坐标系吧？

在

1.直角坐标系

一维空间中是数轴，是有向直线，有原点，决定了单位长度。 在二维空间中是平面正交坐标系，由在原点相交、相互正交的两个数轴(坐标轴)构成。 在三维空间中是空间正交坐标系，由在原点相交、相互正交的两个三个数轴(坐标轴)构成。

(1)直角坐标系中点坐标的确定

在平面直角坐标系中，将坐标原点设为o。 那样的话

平面上的任意一点M秩序对(x，y )平面矢量OM

也就是说，三者是一一对应的，所以不互相分房子。 就像某个班的学生与其姓名、学号一一对应一样，老师找某个学生时，可以说那个人的名字、学号都不会混淆。 因此，我们通常表示为点m(x，y )或向量om=) x，y )。

在平面正交坐标系中，点m或向量OM的坐标(x，y )通过m点作为x轴的垂线，与x轴的交点(即点m向x轴的投影)的x轴)上的坐标x成为平面点m的横坐标，通过m点作为与y轴的垂线，与y轴的交点为例如

同样地，在空间直角坐标系中，点的坐标如点a(1、2、1.5 )那样由三维有序排列构成

)2)直角坐标系的优点

在平面直角坐标系中，与x轴、y轴垂直的直线可以分别表示为x=a、y=b。 要表示圆的中心位于原点的圆，需要使用稍微复杂的方程式x2 y2=r2。 其中，a、b、r都是常数。

在空间直角坐标系中，垂直于x轴、y轴和z轴的平面可以分别表示为x=a、y=b和z=c。 另一方面，一个球的中心位于原点的球面方程式为x2 y2 z2=r2。 这里，a、b、c、r都是常数。

在

2. 极坐标系

平面上，表示点的秩序数可以与直角坐标系的坐标不同。

极坐标系的建立：在平面内取被称为极的定点o； 从极o点减去被称为极轴的放射线ox选定另一个单位长度和角的正方向(通常为逆时针方向)。

(1)极坐标系中点坐标的确定

关于平面上的点m，线段OM的长度用表示，线段Ox为始边，线段OM为终边的角用表示，称为点m的极径，称为点m的极角，秩序数(、)为点m的极坐标。 一般来说，0、取任意实数，特别是将极点坐标设为(0，)。 根据教材不同，的取法也没有限制，可以取任意实数。

可以看出，在极坐标系中，点和秩序数不再是一对一的对应关系。 每个点都可以有无限的坐标。 也就是说，对于固定的0和，(，2k )表示相同点。 其中，k是整数。 为了保持点与坐标的一对一对应关系，限制0、02(或-)时，除极o以外的点有时会与有序对数一一对应。

我认为对于初学者来说，点和坐标不一对一对应有时会引起混乱，但实际上，如果不与点有序对应，即不能说坐标不一对一对应，极坐标不一对一对应反而很方便的情况下例如，阿基米德的螺旋极坐标方程式为=a，在此，a为正常数，0。

0、02(或-)下，螺旋方程相对复杂。

)极坐标和正交坐标的相互变换

平面上的任意点m在直角坐标系和极坐标系中的坐标表现不同。 为了考察两个坐标的关系，绘制两个坐标系，使笛卡尔坐标系的原点和极坐标系的极一致，笛卡尔坐标系的x轴和极坐标系的极轴一致。

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这样做是有道理的，因为直角坐标系中原点可以看作是基点，其他点的坐标都是以原点为基准的相对位置确定的。同样极坐标系是以极点和极轴为基准来确定其他点的坐标的。

不难看出

因此很容易地可以将直角坐标方程f(x, y)=0化为极坐标方程f(ρ cos θ, ρ sin θ)=0。

反过来，要从x =ρ cos θ, y =ρ sin θ求出ρ和θ，相当于求反函数，我们知道这种操作通常要在两种坐标间建立一一对应关系，否则反函数是多值函数。不妨限制ρ≥0，0≤θ<2π，极点唯一坐标为O(0,0)。这时有

(3)极坐标系的优点

在极坐标系中，要表示平面上一个以极点为圆心的圆和过极点的射线很简单，ρ=r就是圆，θ=α就是射线，其中r>0和0≤α<2π都是常数。可以看出，直角坐标表示直线和平面很方便，而极坐标表示圆却很方便。

3.柱坐标系

在空间直角坐标系中，xoy平面上以极坐标替换直角坐标，而第三维度(即z轴)仍然采用直角坐标，这样形成的坐标系就是柱坐标系。柱坐标系中点的坐标形如M(ρ,θ,z)，其中z的意义与空间直角坐标系中相同，ρ,θ的意义与平面极坐标系中相相似。由于是三维空间，因此

z=c仍表示垂直于z轴的平面；

ρ=r表示母线平行于z轴的圆柱面；

θ=α表示过z轴的半平面；

当然，在xoz平面使用极坐标，y轴保持直角坐标也是可以的。

柱形几何体用柱坐标系是很有优势的。

4.球坐标系

设O为空间直角坐标系原点，M为空间任一点。ρ表示线段OM的长度，φ表示OM与z轴正向的夹角，M在xoy平面上的投影为M0，θ表示线段OM0与x轴正向的夹角，且从z轴正向看逆时针方向为θ正方向，则M点的坐标可以表示为M(ρ,φ,θ)。

这就是球坐标系，在球坐标系中，点的坐标也不唯一。在实际应用中，根据实际情况常规定

ρ≥0，0≤φ<π，0≤θ<2π(或-π/2<θ≤π/2)

可以看出，点的直角坐标和球坐标之间关系为

上式中，ρ,θ,φ关于x,y,z的三个表达式只是点位于第一卦限的情况，若点在其他卦限还应做出相应调整。

球面x2+y2+z2=r2的球坐标方程为ρ=r，可以看出球坐标系对处理球形几何体具有极大优势，也是其称为球坐标的原因。

柱坐标和球坐标在高等数学中的最主要应用是三重积分的计算。对于圆柱形和球形几何体上的三重积分，应用柱坐标和球坐标可以大大地简化计算。