前言

正弦定理

文字语言：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等；

符号语言：(cfrac{a}{sinA}=cfrac{b}{sinB}=cfrac{c}{sinC})；

[拓展：(cfrac{a}{sinA}=cfrac{b}{sinB}=cfrac{c}{sinC}=2R)((R)为三角形的外接圆的半径)]；

定理证明

【思路一】：利用三角形的高证明正弦定理[易想易证]；

证明：(1).设( riangle ABC)为锐角三角形时，设边(AB)上的高为(CD)，根据锐角三角函数定义可知，

有(CD=acdot sinB)；(CD=bcdot sinA)；由此得到，(cfrac{a}{sinA}=cfrac{b}{sinB})；

同理得到，(cfrac{b}{sinB}=cfrac{c}{sinC})，故(cfrac{a}{sinA}=cfrac{b}{sinB}=cfrac{c}{sinC})在锐角三角形中成立；

(2).设( riangle ABC)为钝角三角形时，过点(C)做边(AB)上的高，交(AB)的延长线于点(D)，根据锐角三角函数定义可知，

有(CD=acdot sinangle CBD=acdot sinangle ABC)；(CD=bcdot sinA)；由此得到，(cfrac{a}{sinA}=cfrac{b}{sinB})；

同理得到，(cfrac{b}{sinB}=cfrac{c}{sinC})，故(cfrac{a}{sinA}=cfrac{b}{sinB}=cfrac{c}{sinC})在钝角三角形中成立；

(3).当( riangle ABC)为直角三角形时，比如(C=cfrac{pi}{2})，容易验证(cfrac{a}{sinA}=cfrac{b}{sinB}=cfrac{c}{sinC})成立；

综上所述，在( riangle ABC)中，一定有(cfrac{a}{sinA}=cfrac{b}{sinB}=cfrac{c}{sinC})；

【思路二】：利用三角形的面积证明正弦定理[易想易证]；

证明：如图在( riangle ABC)中，边(AB)上的高为(CD)，则(CD=acdot sinB)，

则(S_{ riangle ABC}=cfrac{1}{2} imes AB imes CD=cfrac{1}{2}acsinB)；

同理可得到(S_{ riangle ABC}=cfrac{1}{2}absinC=cfrac{1}{2}bcsinA)；

则有(acsinB=absinC=bcsinA)，同除以(abc)，得到

(cfrac{a}{sinA}=cfrac{b}{sinB}=cfrac{c}{sinC})；

【思路三】：向量法证明正弦定理

证明：(1).如图所示，设( riangle ABC)为锐角三角形，过点(A)做与(overrightarrow{AC})垂直的单位向量(vec{j})，

则由图可知，(<vec{j}，overrightarrow{AC}>=90^{circ})，(<vec{j}，overrightarrow{AB}>=90^{circ}-A)，

(<vec{j}，overrightarrow{CB}>=90^{circ}-C)，延长两个向量可以看出来；且有(overrightarrow{AC}+overrightarrow{CB}=overrightarrow{AB})，

给上述的向量式同时取与向量(vec{j})的数量积，得到(vec{j}cdot (overrightarrow{AC}+overrightarrow{CB})=vec{j}cdotoverrightarrow{AB})，

整理得到，(vec{j}cdot overrightarrow{AC}+vec{j}cdotoverrightarrow{CB}=vec{j}cdotoverrightarrow{AB})，

则(|vec{j}||overrightarrow{AC}|cos90^{circ}+|vec{j}||overrightarrow{CB}|cos(90^{circ}-C)=|vec{j}||overrightarrow{AB}|cos(90^{circ}-A))

即(acdot sinC=ccdot sinA)；即(cfrac{a}{sinA}=cfrac{c}{sinC})；

过点(C)做与(overrightarrow{CB})垂直的单位向量(vec{i})，则由图可知，(<vec{i}，overrightarrow{AC}>=90^{circ}-C)，(<vec{i}，overrightarrow{CB}>=90^{circ})，

(<vec{i}，overrightarrow{AB}>=90^{circ}-B)，延长两个向量可以看出来；且有(overrightarrow{AC}+overrightarrow{CB}=overrightarrow{AB})，

给上述的向量式同时取与向量(vec{i})的数量积，得到(vec{i}cdot (overrightarrow{AC}+overrightarrow{CB})=vec{i}cdotoverrightarrow{AB})，

整理得到，(vec{i}cdot overrightarrow{AC}+vec{i}cdotoverrightarrow{CB}=vec{i}cdotoverrightarrow{AB})，

则(|vec{i}||overrightarrow{AC}|cos(90^{circ}-C)-+|vec{i}||overrightarrow{CB}|cos90^{circ}=|vec{i}||overrightarrow{AB}|cos(90^{circ}-B))

即(bcdot sinC=ccdot sinB)；即(cfrac{b}{sinB}=cfrac{c}{sinC})；

即( riangle ABC)为锐角三角形时，(cfrac{a}{sinA}=cfrac{b}{sinB}=cfrac{c}{sinC})；

(2).当( riangle ABC)为直角或者钝角三角形时，不妨令(Bgeqslant 90^{circ})，仿照上图放置角(B)，

则同理可以证明(cfrac{a}{sinA}=cfrac{b}{sinB}=cfrac{c}{sinC})；

综上所述得到，(cfrac{a}{sinA}=cfrac{b}{sinB}=cfrac{c}{sinC})；证毕。

【思路四】：三角形的外接圆证明

证明：(1).如图所示，设( riangle ABC)为锐角三角形，做出其外接圆(odot O)，连结(BO)并延长交(odot O)于点(A’)，

则由同弧所对的圆周角相等，得到(angle A=angle A’)，

在(Rt riangle A’BC)中，(sinA’=cfrac{a}{2R}=sinA)；

连结(AO)并延长交(odot O)于点(B’)，则由同弧所对的圆周角相等，得到(angle B=angle B’)，

在(Rt riangle AB’C)中，(sinB’=cfrac{b}{2R}=sinB)；

同理得到，(cfrac{c}{2R}=sinC)；故(cfrac{a}{sinA}=cfrac{b}{sinB}=cfrac{c}{sinC}=2R)；

(2).如图所示，若( riangle ABC)为直角三角形，做出其外接圆(odot O)，连结(BO)并延长交(odot O)于点(A’)，

容易证明(cfrac{a}{sinA}=cfrac{b}{sinB}=cfrac{c}{sinC}=2R)；

(3).如图所示，若( riangle ABC)为钝角三角形，做出其外接圆(odot O)，连结(BO)并延长交(odot O)于点(A’)，

则由同弧所对的圆周角相等，得到(angle A=angle A’)，在(Rt riangle A’BC)中，(sinA’=cfrac{a}{2R}=sinA)；

连结(AO)并延长交(odot O)于点(B’)，则由同弧所对的圆周角相等，得到(angle B=angle B’)，

在(Rt riangle AB’C)中，(sinB’=cfrac{b}{2R}=sinB)；

同理得到，(cfrac{c}{2R}=sinC)；故(cfrac{a}{sinA}=cfrac{b}{sinB}=cfrac{c}{sinC}=2R)；

综上所述得到，(cfrac{a}{sinA}=cfrac{b}{sinB}=cfrac{c}{sinC})；

【思路五】：用余弦定理证明正弦定理

【思路六】：三角函数定义法

【思路七】：构造向量的射影法[教程上的证法]

如图所示，设( riangle ABC)为钝角三角形,以点(A)为原点，以射线(AB)的方向为(x)轴正方向建立直角坐标系，(C)点在(y)轴上的射影为(C’)，

由于向量(overrightarrow{AC})与(overrightarrow{BC})在(y)轴上的射影均为(|overrightarrow{OC’}|)，即

(|overrightarrow{OC’}|=|overrightarrow{AC}|cos(A-90^{circ})=bsinA)，

又(|overrightarrow{OC’}|=|overrightarrow{BC}|sinB=asinB)，

所以(asinB=bsinA)，即(cfrac{a}{sinA}=cfrac{b}{sinB})，

同理，(cfrac{a}{sinA}=cfrac{c}{sinC})，

所以，(cfrac{a}{sinA}=cfrac{b}{sinB}=cfrac{c}{sinC})；

若(A)为锐角或者直角，同理可得，(cfrac{a}{sinA}=cfrac{b}{sinB}=cfrac{c}{sinC})；证毕。