背景：反映某物理过程的微分方程并不能完全确定一个物理过程。
1. 通解和特解
如果多元函数 u ( x 1 , x 2 , . . . , x n ) u(x_1,x_2,…,x_n) u(x1,x2,…,xn)在空间区域 V ⊂ R n V\subset \bold R^n V⊂Rn内具有方程中出现的各阶连续偏导数，并使方程
F ( x 1 , . . . , x n , u , ∂ u ∂ x 1 , . . . , ∂ u ∂ x n , . . . , ∂ m u ∂ x 1 m 1 ∂ x 2 m 2 . . . ∂ x n m n ) = 0 , m = m 1 + m 2 + ⋅ ⋅ ⋅ + m n F(x_1,…,x_n,u,\frac{\partial u}{\partial x_1},…,\frac{\partial u}{\partial x_n},…,\frac{\partial^mu}{\partial x_1^{m_1}\partial x_2^{m_2}…\partial x_n^{m_n}})=0, \quad m=m_1+m_2+···+m_n F(x1,…,xn,u,∂x1∂u,…,∂xn∂u,…,∂x1m1∂x2m2…∂xnmn∂mu)=0,m=m1+m2+⋅⋅⋅+mn
成为恒等式，则称此函数为上式方程在区域V内的解。也称为古典解。对解的要求很高。
例1：
求解一阶偏微分方程 ∂ u ∂ ξ = 0 , u = u ( ξ , η ) \frac{\partial u}{\partial \xi}=0,u=u(\xi,\eta) ∂ξ∂u=0,u=u(ξ,η)
解：方程两边对 ξ \xi ξ积分，得
u = f ( η ) u=f(\eta) u=f(η)
对于任意C（R）函数 f , u f,u f,u都是方程在全平面的解。
例2：求解二阶偏微分方程 ∂ 2 u ∂ ξ ∂ e t a = 0 , u = u ( ξ , η ) \frac{\partial^2 u}{\partial \xi\partial eta}=0,u=u(\xi,\eta) ∂ξ∂eta∂2u=0,u=u(ξ,η).
解：两边依次对 ξ , η \xi,\eta ξ,η积分，得
u = f ‾ ( ξ ) + g ( η ) u=\overline f(\xi)+g(\eta) u=f(ξ)+g(η)
对于任意 C 1 ( R ) C^1(\bold R) C1(R)函数f，g，u都是方程在全平面的解。
结论：偏微分方程的解族很大，可以包含任意函数。称m阶偏微分方程的含有m个任意函数的解为方程的通解，不含任意函数或任意常数的解为方程的一个特解。通解中的任意函数一旦确定，通解就成为特解。
2. 定解问题及其适定性
定解问题：泛定方程+定解条件 —— 描述物理过程的完整的数学模型
定解问题的解：满足定解条件的泛定方程的解
定解问题的古典解：若泛定方程在区域V内的解，以及其在定解条件中出现的偏导数，都连续到V的边界，且在边界上满足定解条件。
适定的定解问题：解存在、唯一和稳定
初值问题：泛定方程+初始条件（如无界弦的振动问题）混合问题：泛定方程+初始条件+边界条件 （如有界弦的振动问题）边值问题：泛定方程（稳态）+ 边界条件（场位方程的稳定方程）
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