四面体是最简单的多面体，在漫长的岁月里，这种看似简单的三维形状延伸出了许多令人伟大头疼的问题。 2020年11月，四位数学家在学术预印网站arXiv上提交了长达30页的论文。 他们用数论方法证明了有关四面体的古老问题。

这个问题可以追溯到2000多年前的柏拉图和亚里士多德，目的是确定能够完全填充(或“密铺”)三维空间的多面体。 柏拉图认为，世界由水、气体、火、土和以太五种“物质”组成，每种“物质”对应一个特定的多面体形状，这些具有相等边长的三维形状后来成为了柏拉图多面体。

柏拉图用正多面体定义旧元素。 立方体(土)、正二十面体)、水)、正八面体)、正四面体)、火)、正十二面体)、太)。 |图片来源：维基百科

但是柏拉图的学生亚里士多德不同意这个假设。 我们认为，如果世界真的由这些物质构成，那么它们所对应的形式必须能够完全填满空间。 与土和火对应的立方体和正四面体可以铺满空间，但与水和气对应的正二十面体和正八面体认为不能。

当然，亚里士多德对这个问题的判断也不完全正确。 从15世纪开始，有科学家质疑正四面体可填充空间的可能性。 17世纪的科学家确认，正四面体不能实现这一点。 这简单地证实了，只要排列几个正四面体模型的边的对边，在5个正四面体中就必然会产生无法填补的间隙。

事实上，大部分三维形状无法紧密铺满空间。 那么，就产生了一个新的问题：如果正四面体不能密封空间，其他四面体能不能形成呢？

答案是肯定的。 1923年，数学家Duncan Sommerville证明了第一个紧密铺满空间的四面体。 那么，有多少个这样的四面体呢？ 但是，要寻找这样的四面体是非常困难的。 但幸运的是，数学家发现，寻找紧密铺满三维空间的四面体问题，与其他两个问题有关。

第一个问题是大卫希尔伯特(David Hilbert ) 1900年提出的23个问题的第三个问题。 对于任意两个等体积的多面体，总是将一个多面体切断为有限的多个多面体，然后重构另一个多面体？

剪刀的联合二维例子：具有相同面积的二维多边形是剪刀的联合。 |影像参照来源： QuantaMagazine

换句话说，这个问题可以用具有相同体积的多面体的某一个剪刀来表示是否全部相等。 一个形状和另一个形状的剪刀对等，意味着一个可以被直线切断，重新构成另一个形状。

同年，高耸的冬瓜(Max Dehn )提出了解决这个问题的重要概念，证明了多面体的角度和边长有关。 他发现可以从多面体的角度计算出现在被称为jjdm不变量的量。 如果两种形状的剪刀都相等，它们的jjdm不变量必须相等。

三维形状的剪刀总共两个形状的体积必须相同，而且jjdm不变量也必须相同。 图中所示为具有相同体积的正四面体和立方体，

但它们不是剪刀全等的，因为它们具有不同的jjdm不变量。| 图片参考来源：Wikipedia Commons

1980年，ajdxh Debrunner证明了任何可能密铺空间的四面体，其jjdm不变量都必须与立方体一样——等于0。这意味着与立方体剪刀全等的四面体才有可能密铺空间。而数学家们继而发现，与立方体剪刀全等的那类四面体，其所有二面角的度数均为有理数。

到这里，另一个与之相关的问题也出现了。

1976年，fkdxl（John H. Conway）和zjdgs（Antonia JJones）发表了一篇论文，在论文中他们提出了这样一个问题：是否有可能识别出所有其二面角的度数全部为有理数的四面体？

他们想到可以通过求解一个特定的多项式方程来寻找这种有理四面体。他们的方程中存在六个变量，对应于一个四面体的6个二面角；它有105项，反映的是这6个二面角之间的相互关系。这个多项式方程有无穷多个解，对应着无穷多个不同的四面体构型。

一个四面体具有6个二面角。| 图片来源：Wikipedia Commons

swdsp和琼斯认为，要通过求解方程找到所有二面角都为有理度数的解，必须找到方程的一类与有理四面体完全对应的特殊解。但他们并不知道应该如何做到这一点。

1995年，数学家Bjorn Poonen、调皮的曲奇 Rubinstein以及其他数学家通过计算机，搜索并发现了这些特殊的有理四面体。他们的结果表明，满足这些条件的四面体有59个，加上两个无穷族中的四面体。无穷族中的四面体都具有一个可以被无限调整的角度参数，使这些四面体不管经历了怎样的调整都能维持密铺空间的能力。

但是，Poonen等人无法证明已找到的这些四面体就是所有能够密铺空间的四面体。直到现在，4位数学家在一篇新论文中阐明的方法，证实了25年前所发现的就是所有的有理四面体，不存在尚未被发现的其他例子。

在新研究所提供的方法中，数学家首先证明了那个用来表示四面体的复杂多项式方程可以被表述成许多更简单的多项式。他们将一个复杂的6变量方程转变成为了数百个相对简单的方程，并对这些方程进行求解。接着，他们根据对方程解的一些性质的预判，在求解过程进行了更有针对性的设置，从而得到了一个能够快速高效地搜索方程解的算法。

最终，他们找到的正是那59个独立的四面体，以及两个无穷族的四面体。并且，这些具有有理二面角的四面体都有一个为零的jjdm不变量，这意味着它们都与立方体剪刀全等，有可能密铺空间。

现在，麻省理工学院的一群本科生们在继续研究这个问题，他们试图找出其中的哪些能做到三维密铺。2021年1月，他们找到了一个反例，证明了其中一个独立的有理四面体不能密铺空间，这是数学家首次发现的一个与立方体剪刀全等，但又不能密铺空间的四面体例子。

编译：伶俐的戒指/p>

图片：lsdxmg

#参考来源：

https://www.quantamagazine.org/mit-math-students-continue-aristotles-tetrahedra-tiling-20210209/

https://www.quantamagazine.org/mathematicians-finally-prove-rational-tetrahedron-solutions-20210202/

http://www-math.mit.edu/~poonen/papers/press_release.pdf

https://arxiv.org/pdf/2011.14232.pdf

#图片来源：

封面图：Matemateca (IME/USP)/Rodrigo 包容的眼睛 Argenton

多面体：Wikipedia Commons