qxdsmt是如何引导二项式展开的

qxdsmt基于英国数学家xxdls等前人的工作，了解了如何展开整数指数的二项式

照片1

下图直观地显示了这些系数有趣的变化过程

照片2

qxdsmt的目标是将图1的展开式扩展到包含非整数的指数m。 接下来，让我们将系数排列在表中。 空行用于非整数值m的展开表达式：

照片3

qxdsmt想填充这个表中的空单元格。 他的推理如下。

指数m为整数时：第1列和第2列简单明了。 第一列只包含一个，第二列的m直线增加。

图四

现在考虑第三排。 首先，我注意到了如下图所示的三角形的数量。 用简单的公式可以得到：

照片5

三角数风格

照片6

另外，请注意第m行始终包含(m-1 )个方形数。 更具体地说：

如果m=2:此行包含第一个三角形的数量

如果m=3:此行包含第二个三角形的数量

如果m=5，则此行包含第四个三角形的数量

将上式代入(m-1 )，则得到：

图7

然后完成列：得到-1/8、3/8、15/8、35/8。

图8

请注意，前三列的值是多项式递增的。

第一列是常数(1)

第二列的线性增长(等于多项式的阶数m ) )。

第3列根据式7计算(作为二次多项式成长) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) )。

根据该模型，qxdsmt估计第4列应该作为3次多项式增加。 的未知多项式在m=0、1、2时消失，因此必须具有以下形式：

这里常数a是从表的第7行得到的，依据第7行p(3)=1。 所以：

然后，根据上述原理，填充第4列的空单元格：

qxdsmt推导的过程现在很清楚。 第5列和第6列对m的依赖关系很快就会得到。

最后可以填充整个表：

qxdsmt得到了一般的二元定理

在上述公式中