高等数学——导数的定义和常见导数

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导数是微积分也是高数当中很重要的一个部分，不过很遗憾的是，和导数相关的部分很多同学都是高中的时候学的。经过了这么多年，可能都差不多还给老师了。所以今天的文章就一起来温习一下导数的相关知识，捡一捡之前忘记的内容。

函数切线

关于导数，最经典的解释可能就是切线模型了。以前高中的时候，经常对二次函数求切线，后来学了微积分之后明白了，所谓的求切线其实就是求导。

比如当下，我们有一个光滑的函数曲线(y=f(x))，我们想要求出这个曲线在某个点(M)的切线，那么应该怎么操作呢？

如上图所示，我们可以在选择另外一个点N，然后做MN的割线。假设T是M的真实的切线，当我们将N向M无限逼近的时候，(angle NMT)在无限缩小，直到趋近与0，而此时的割线MN也就无限逼近于M点真实的切线T。

在图中，MN的斜率表示为( anphi)，其中( anphi=frac{f(x)-f(x_0)}{x – x_0}).

当N逼近于M时：

[displaystyle anphi= lim_{x o x_0}frac{f(x) – f(x_0)}{x – x_0}
]

我们令(Delta x = x – x_0)，所以：

[displaystyle anphi=lim_{Delta x o 0}frac{f(x_0 + Delta x) – f(x_0)}{Delta x}
]

此时( anphi)的结果就是函数在(x_0)处导数的值，上面这个方法大家应该也都不陌生，在物理课上就经常见到，只不过在物理当中不叫极限也不叫逼近，称为换元法。但不管叫什么，意思是一样的。我们理解了上面这些式子之后，再来看看导数真正的定义。

定义

假设函数(y=f(x))在点(x_0)处的邻域内有定义，当自变量(x)在(x_0)处取得增量(Delta x)((x_0 + Delta x)仍然在(x_0)的邻域内)，相应的函数取得增量(Delta y=f(x_0+Delta x) – f(x_0))。如果(frac{Delta y}{Delta x})在(Delta x o 0)时的极限存在，称为函数(y=f(x))在点(x_0)处可导。它的导数写成(f'(x_0))

[displaystyle f'(x_0)=lim_{Delta x o 0}frac{f(x_0+Delta x) – f(x_0)}{Delta x}
]

(f'(x_0))也可以记成(displaystylefrac{dy}{dx})，或者(displaystylefrac{df(x)}{dx})。

如果函数(y=f(x))在开区间(I)内可导，说明对于任意(x in I)，都存在一个确定的导数值。所以我们就得到了一个新的函数，这个函数称为是原函数(f(x))的导函数，记作(f'(x))。

不可导的情况

介绍完了常见函数的导函数之后，我们来看下导数不存在的情况。

导数的本质是极限，根据极限的定义，如果(displaystylelim_{x o x_0}f(x)=a)。那么，对于某个正数(epsilon)，对于任何正数(delta)，都有(0 < |x – x_0| < delta)时，(|f(x) – a| geq epsilon)。那么就称为(x o x_0)时，(f(x))的极限是a。

我们对上面的式子进行变形，可以得到，当(Delta x o 0)时:

[displaystylelim_{Delta x o 0}f(x_0-Delta x)=f(x_0 + Delta x) = a
]

也就是说极限存在的条件是无论自变量从左边逼近(x_0)还是右边逼近，它们的极限都存在并且相等。所以，函数(f(x))在(x_0)点可导的充分必要条件就是，函数在(x_0)处的左右两侧的导数都必须存在，并且相等。

另一种不可导的情况是不连续，不连续的函数一定不可导。这一点其实很难证明，我们可以来证明它的逆否命题：可导的函数一定连续。

根据导数的定义，一个点的导数存在的定义就是(frac{Delta y}{Delta x})在(Delta x o 0)时存在。即：

[displaystylelim_{Delta x o 0}frac{Delta y}{Delta x}=f'(x)
]

我们把极限符号去掉：

[frac{Delta y}{Delta x}=f'(x) + a
]

这里的a是(Delta o 0)时的无穷小，我们队上式两边同时乘上(Delta x)，可以得到：

[Delta y=f'(x)Delta x + aDelta x
]

由于(a和Delta x)都是无穷小，并且(f'(x))存在，所以(Delta y)也是无穷小。而连续的定义就是当(Delta x o 0)时，(Delta y)也趋向于0.

反例

我们来举一个反例：

[f(x) = |x|
]

它的函数图像长这样：

我们试着来证明：(f(x))在(x=0)处不可导。

[egin{aligned}
f’_\_(0)&=frac{|Delta x|}{Delta x}=-1 \
f’_+(0)&=frac{Delta x}{Delta x}=1
end{aligned}
]

由于(f(x))在(x=0)处的左右导数不等，和极限存在的性质矛盾，所以(f(x))在(x=0)处不可导。

常见函数的导数

我们再来看一下常见函数的导函数，其实我们了解了导数的定义之后，我们完全可以根据导函数的定义自己推算。但说实话，这些推算意思不大，所以我们直接跳过推算的部分，直接来看结论。

(f(x)=C)，C是常数。(f'(x)=0)
(f(x)=x^n), (f'(x)=nx^{n-1})
(f(x)=sin x)，(f'(x)=cos x)
(f(x)=cos x)，(f'(x)=-sin x)
(f(x)=a^x)， (f'(x)=a^xln a)
(f(x)=log_ax)，(f'(x)=frac{1}{xln a}, (a > 0, a
eq 0))
(f(x)=ln x)， (f'(x)=frac{1}{x})