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1.普通正态分布转换标准正态分布公式

我们知道正态分布是由两个参数$\mu$与$\sigma$确定的。对于任意一个服从 N ( μ , σ 2 ) N(\mu, \sigma^2) N(μ,σ2)分布的随机变量$X$，经过下面的变换以后都可以转化为$\mu =0,\sigma =1$的标准正态分布(standard normal distribution)。转换公式为:
z = X − μ σ z = \frac{X-\mu}{\sigma} z=σX−μ​

2.证明

概率统计的教科书上一般直接给出这个结论，并没有给出相应的证明。下面我们来看看这个结论的推理过程。由于犯懒懒得编辑公式，直接贴截图，证明过程来自参考文献1。

3.几个应用的例子

3.1 假设公共汽车门的高度按成年男性碰头机会小于1%来设计。又假设成年男性的身高服从正态分布 X ∼ N ( 170 , 6 2 ) X \sim N(170, 6^2) X∼N(170,62)，求问车门的高度$h$为多少?

假设身高这一随机变量为$X$，那么要求的问题为:
$$P(x>h)=0.01$$
即
$$1-P(x\le h)=0.01$$
$$P(x\le h)=0.99$$

因为 X ∼ N ( 170 , 6 2 ) X \sim N(170, 6^2) X∼N(170,62), 所以 h − 170 6 ∼ N ( 0 , 1 ) \frac{h – 170}{6} \sim N(0, 1) 6h−170​∼N(0,1)。
通过查标准正态分布表可知,$P(z\le 2.33)=0.99$
因此h = 170 + 6 * 2.33 = 183.98cm

3.2 现在有一个$\mu =10$和$\sigma =2$的正态随机变量，求x在10与14之间的概率是多少？
当x=10时，z = 0。当x=14时，z = (14-10)/2 = 2。于是，x在10与14之间的概率等价于标准正态分布中0与2之间的概率。
$$P(0\le z\le 2)=P(z\le 2)-P(z\le 0)=0.4772$$

参考文献：
1.https://www.zhihu.com/question/30121927