我们已经学习了有限区间上的积分，但是对于无限的情况和区间有奇点的情况还不能理解。 这需要无限积分和缺陷积分，看起来非常有趣。

生长和衰减的速度通过前一章的内容，我们已经可以做一些总结，在罗必达定律中，f(x ) g )且f，g 0，则x时，f ) x )/g ) x )0； f(x ) g ) x )且f，g 0时，x时，f ) x )/g(x )

异常积分收敛和发散异常积分定义如下。

从定义来看，也就是说普通积分的上限n是。 极限存在则收敛，否则发散。

积分表示面积，如果收敛，面积是有限的，如下图所示，面积最终是恒定的。

在发散的情况下，面积是无限的，例如是平行于x轴的直线。

异常积分http://www.Sina.com/http://www.Sina.com /

　　示例1

也可以写得更短：

http://www.Sina.com/http://www.Sina.com /

：

上限为时，1/x的积分发散。 这与直觉相反，被积函数f(x )=1/x随着x的增大而减小，但衰减速度还不是“快”，而是发散的。

http://www.Sina.com/http://www.Sina.com /

　　

到此为止，如果还想继续探索的话，就看看p的可取范围吧。 首先，p的值不能为1。 在p 1的情况下，

在p 1的情况下，

在这个示例中，在p 1的情况下发散，在p 1的情况下收敛。

审查收敛法我们通常对异常积分是发散还是收敛感兴趣，但计算极限往往令人沮丧。 幸运的是，了解增长和衰减速度，用更快或更慢的函数替换被积函数，判断异常积分收敛性的方法就是审查收敛法。

审查收敛法大概记述如下。

x且f，g0时，

在f(x ) g(x )即f ) x/g ) x ) 1的情况下，g ) x ) f ) x )且收敛的情况下，g ) x ) f ) x )并且发散的情况下都是发散的例子165http://www.Sina .中

要求解原函数，需要换成三角，经过几个列变换后再求解极限。 也可能使用洛匹塔尔定律。 ……现在，试着用审查收敛法来判断吧。

所以答案会发散。

这里需要注意的是，相似异常积分的下限是1。 这样做有两个理由。 第一，当然分母不会为0。 二是上限为，下限不会成为影响结果的主要原因。 在异常积分中，关注了朝向的末尾。 下限写1只是简单易懂的写，实际上可以写为大于0的任意数。

例2http://www.Sina.com/http://www.Sina.com /

　　示例2

结果收敛了。

例3http://www.Sina.com/http://www.Sina.com/http://www.Sina.com /

结果收敛，其中所用的衰减率为1 x x2，- x2 -x

缺陷积分定积分的奇点

这很简单，

这个答案正确吗？

我们很熟悉1/x2的图像。 积分表示面积。 那么，那不是负数。 一定是哪里有问题。

　　如果只计算x ≥ 0时的面积：

　　这个结果是无意义的，对1/x2在[0,1]上积分没有任何意义。换个角度看这个问题，假设积分下限是是一个无限接近0的数值，结果趋近于∞，这个积分是发散的。

　　在这个例子中，将0称为积分的奇点，对于不同的积分来说，奇点也不同。积分在奇点上是无意义的。

　　结论是，如果我们这计算时不注意积分的奇点，很容易导致计算错误。看来在今后的积分运算中又多了一条注意事项。

瑕积分的定义

　　将存在奇点的积分称为瑕积分，用数学符号表示就是：

　　需要注意的是a是从右侧接近0，这实际上和处理无穷的思路是一样的。

　　就是一个典型的瑕积分，奇点是0，结果是∞。

收敛和发散

　　与反常积分一样，我们关注的是瑕积分在奇点的收敛性。

　　当x→0+时：

 

　　当x→+∞时：

 

　　这里用红色的被积函数表示发散，绿色表示收敛，很容易对其进行计算。

　　可以通过图像直观地了解一下：

示例

　　判断的收敛性

　　看起来很简单，

　　当x→∞时，1/x2的积分是收敛的，所有结论是收敛。

　　真相确实如此吗？1/(x – 3)2的图像如下：

 

　　看起来没那么简单了，答案应该是发散才对。问题的原因就在于积分存在奇点，就是x = 3。一个简单的判定奇点判定法是当x = 3时被积函数没有意义。

 

　　等式右侧的第一个积分跨越了奇点，在奇点一节中提到过：积分在奇点上是无意义的，如果一个积分跨越了奇点，那么这个积分就是发散的。所以最后答案是发散。

综合示例

 

示例1

　　判断积分的收敛性

　　其结果是在-1和1之间波动，所以题目积分是不可积的。

　　更简单的方法是在0和∞之间，cosx的图像是来回摆动的，并未趋近于某个值，可以直接得出不可积的结论。

示例2

　　判断积分的收敛性

　　积分的奇点是0，需要判断这奇点上是否是收敛的。

　　先用分部积分求解，

 

　　极限是0·∞型，需要对其进行转换以便使用洛必达法则，

　　题目积分在奇点收敛于0，最终收敛于-4。

示例3

　　判断积分的收敛性

　　积分的奇点是0，积分跨越了奇点，需要分成两半：

　　题目积分在奇点收敛于0，最终收敛于6。

示例4

　　曲线f(x) = 1/x绕x轴旋转，求x在[1, ∞)上形成图形的表面积和体积。

 

　　上面的计算通过弧长计算表面积（弧长和表面积可参见数学笔记25——弧长和曲面面积），再利用审敛法求反常积分。这看起来没什么问题，但是有些繁琐。由于我们已经知道1/x在x→∞上是发散的，所以可以直接判断表面积也发散。 

　　根据圆盘法（圆盘法可参见数学笔记17——定积分的应用2（体积））求计算体积： 

 

 　　作者：我是8位的

　　出处：http://www.cnblogs.com/bigmonkey

　　本文以学习、研究和分享为主，如需转载，请联系本人，标明作者和出处，非商业用途！ 

转载于:https://www.cnblogs.com/bigmonkey/p/8000196.html

一分快3单双技巧答案应该是发散才对。问题的原因就在于积分存在奇点，就是x = 3。一个简单的判定奇点判定法是当x = 3时被积函数没有意义。

 

　　等式右侧的第一个积分跨越了奇点，在奇点一节中提到过：积分在奇点上是无意义的，如果一个积分跨越了奇点，那么这个积分就是发散的。所以最后答案是发散。

综合示例

 

示例1

　　判断积分的收敛性

　　其结果是在-1和1之间波动，所以题目积分是不可积的。

　　更简单的方法是在0和∞之间，cosx的图像是来回摆动的，并未趋近于某个值，可以直接得出不可积的结论。

示例2

　　判断积分的收敛性

　　积分的奇点是0，需要判断这奇点上是否是收敛的。

　　先用分部积分求解，

 

　　极限是0·∞型，需要对其进行转换以便使用洛必达法则，

　　题目积分在奇点收敛于0，最终收敛于-4。

示例3

　　判断积分的收敛性

　　积分的奇点是0，积分跨越了奇点，需要分成两半：

　　题目积分在奇点收敛于0，最终收敛于6。

示例4

　　曲线f(x) = 1/x绕x轴旋转，求x在[1, ∞)上形成图形的表面积和体积。

 

　　上面的计算通过弧长计算表面积（弧长和表面积可参见数学笔记25——弧长和曲面面积），再利用审敛法求反常积分。这看起来没什么问题，但是有些繁琐。由于我们已经知道1/x在x→∞上是发散的，所以可以直接判断表面积也发散。 

　　根据圆盘法（圆盘法可参见数学笔记17——定积分的应用2（体积））求计算体积： 

 

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