1.皮尔森相关系数(Pearson)评估两个连续变量之间的线性关系

 -1 ≤ p ≤ 1
p接近0代表无相关性
p接近1或-1代表强相关性

代码：

#相关系数显著性检验
import numpy as np
import scipy.stats as stats
import scipy
 
x=np.array([10.35,6.24,3.18,8.46,3.21,7.65,4.32,8.66,9.12,10.31])
y=np.array([5.1,3.15,1.67,4.33,1.76,4.11,2.11,4.88,4.99,5.12])
 
correlation,pvalue = stats.stats.pearsonr(x,y)
print("correlation:",correlation)  #correlation: 0.9891763198690562
print("pvalue:",pvalue)  #5.926875946481136e-08

x1=x-x.mean()
y1=y-y.mean()
y2=x1*y1
fenzi=y2.sum()  #35.0235
x_sum=(x1*x1).sum()  #68.4742
y_sum1=(y1*y1).sum()  #18.30816
fenmu=np.power(x_sum*y_sum1,1/2)
corr_pearson=fenzi/fenmu

#根据上面可以编写函数
def corr_pearson(x,y):
    x=np.array(x)
    y=np.array(y)
    x1=x-x.mean()
    y1=y-y.mean()
    y2=x1*y1
    fenzi=y2.sum()  #35.0235
    x_sum=(x1*x1).sum()  #68.4742
    y_sum1=(y1*y1).sum()  #18.30816
    fenmu=np.power(x_sum*y_sum1,1/2)
    return(fenzi/fenmu)

x=[10.35,6.24,3.18,8.46,3.21,7.65,4.32,8.66,9.12,10.31]
y=[5.1,3.15,1.67,4.33,1.76,4.11,2.11,4.88,4.99,5.12]
corr_pearson(x,y)

添加一个scipy,numpy,pandas 计算皮尔斯系数的方法：

import scipy.stats as stats
import numpy as np
import pandas as pd

a = [1.2, 1.5, 1.9]
b = [2.2, 2.5, 3.1]

print(stats.pearsonr(a, b))  
'''
使用scipy库来进行计算，返回两个值，第一个是相关系数，第二个是在不相关假设情况下的p值。

(0.9941916256019201, 0.0686487855020298)
'''

print(np.corrcoef([a, b]))  
'''
使用numpy库来计算相关系数，返回一个数组的形式，为第i行第j行的相关系数

[[1.         0.99419163]
 [0.99419163 1.        ]]
'''

df = pd.DataFrame()
df['a'] = a
df['b'] = b
print(df.corr())    
'''
使用pandas库来进行计算，计算第i列和第j列（每一列都是一个Series）的相关系数。返回的结果为一个DataFrame。注：pandas是计算列的相关系数，numpy是计算行的相关系数。假如有一个df，那么如果用numpy来进行计算？使用的方法是 np.corrcoef(df.values.T)，要进行转置一下。

          a         b
a  1.000000  0.994192
b  0.994192  1.000000
'''

2.斯皮尔曼相关系数评估两个连续变量之间的单调关系。在单调关系中，变量趋于一起变化，但不一定以恒定速率变化

N是观测值的总数量
斯皮尔曼另一种表达公式：

表示二列成对变量的等级差数

#spearman相关系数，方式一
x=[10.35,6.24,3.18,8.46,3.21,7.65,4.32,8.66,9.12,10.31]
y=[5.1,3.15,1.67,4.33,1.76,4.11,2.11,4.88,4.99,5.12]
correlation,pvalue = stats.spearmanr(x,y)
print("correlation:",correlation)
print("pvalue:",pvalue)


#spearman相关系数，方式二
x = scipy.stats.stats.rankdata(x)
y = scipy.stats.stats.rankdata(y)
print(x,y)
correlation,pvalue = scipy.stats.spearmanr(x,y)
print("correlation:",correlation)
print("pvalue:",pvalue)

详细过程：

也就是说，原来的数据（不经过排序），原来这两个变量就是有序的，则斯皮尔曼系数等于1或者-1

d其实就是两个变量对应的值的index的差

import pandas as pd
import numpy as np
 
#原始数据
X1=pd.Series([1, 2, 3, 4, 5, 6])
Y1=pd.Series([0.3, 0.9, 2.7, 2, 3.5, 5])
 
#处理数据删除Nan
x1=X1.dropna()
y1=Y1.dropna()
n=x1.count()
x1.index=np.arange(n)
y1.index=np.arange(n)
 
#分部计算
d=(x1.sort_values().index-y1.sort_values().index)**2
dd=d.to_series().sum()
 
p=1-n*dd/(n*(n**2-1))
 
#s.corr()函数计算
r=x1.corr(y1,method='spearman')
print(r,p) #0.942857142857143 0.9428571428571428

 区别：

（1）Pearson和Spearman相关系数的范围可以从-1到+1。当Pearson相关系数为+1时，意味着，当一个变量增加时，另一个变量增加一致量。这形成了一种递增的直线。在这种情况下，Spearman相关系数也是+1。

（2）如果关系是一个变量在另一个变量增加时增加，但数量不一致，则Pearson相关系数为正但小于+1。在这种情况下，斯皮尔曼系数仍然等于+1。

（3）当关系是随机的或不存在时，则两个相关系数几乎为零。

（4）如果关系递减的直线，那么两个相关系数都是-1。

（5）如果关系是一个变量在另一个变量增加时减少，但数量不一致，则Pearson相关系数为负但大于-1。在这种情况下，斯皮尔曼系数仍然等于-1

相关值-1或1意味着精确的线性关系，如圆的半径和圆周之间的关系。然而，相关值的实际价值在于量化不完美的关系。发现两个变量是相关的经常通知回归分析，该分析试图更多地描述这种类型的关系。

其他非线性关系
Pearson相关系数仅评估线性关系。Spearman相关系数仅评估单调关系。因此，即使相关系数为0，也可以存在有意义的关系。检查散点图以确定关系的形式。

该图显示了非常强的关系。Pearson系数和Spearman系数均约为0。

结论

皮尔森评估的是两个变量的线性关系，而斯皮尔曼评估的两变量的单调关系。
因此，斯皮尔曼相关系数对于数据错误和极端值的反应不敏感。