【线性代数】零空间矩阵

矩阵A零度空间Ax=0解决方案集合。
求零空间：矩阵A消除主要变量获得和自由变量；分配给自由变量值获得特殊的解决方案；特别的解决方案，以获得零空间线性组合。

如果矩阵例如，下面的：

对矩阵A进行高斯消元得到上三角矩阵U。继续化简得到最简矩阵R：

因为方程Ax=0的右側是零向量，所以仅仅对矩阵A进行消元不会影响解,因此不须要增广矩阵，所以有：

从上面的高斯消元的结果能够看出，矩阵A的秩为2，当中第1，3列为主元列，2，4列为自由列，相应于方程主来说，形式转变例如以下：

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从上式能够看出。x2,x4是自由变量，我们能够任意赋值。x2=0,x4=1。x2=1,x4=0能够分别得到两个特解（几个自由变量就有几个特解）：

然后我们将两组特解进行线性组合就得到了矩阵A的零空间：

上面我们从数值解的角度描写叙述了矩阵零空间的求法。以下从公式角度分析：
上面我们经过消元（行变换，不改变行空间和零空间。仅仅改变列空间）得到了最简形式R。

我们将R经过列变换得到例如以下矩阵：
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我们能够对方程式作例如以下变形：

<img src="http://img.blog.csdn.net/20141013085239036?

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<img src="http://img.blog.csdn.net/20141013085419001?

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我们之所以进行上述变换。是为了有更好的表示形式（不进行列变换也行，可是要记住哪一列是单位矩阵I中的。哪一列是自由变量矩阵F中的）：

<img src="http://img.blog.csdn.net/20141013085018062?

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<img src="http://img.blog.csdn.net/20141013085424024?

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这样我们代入方程式能够得到零空间矩阵：

从上面的推导能够看出，得到的零空间矩阵的每一列就是我们前面的特解(注意要变换顺序！交换第2。3行,结果便和前面同样)。因此，我们能够从通过消元法得到最简式R。然后就能够直接得到零空间矩阵，则零空间就是零空间矩阵各列向量的线性组合。而不须要像前面那样先给x2,x4赋值，然后回代到方程中得到两个特解。从而得到矩阵的零空间。

以下再举一例：