地球自转的角速度(地球公转的角速度)。

来源:刘彦柱科学网博客，作者:刘彦柱。

01

福柯摆和福柯陀螺。

1851年，法国物理学家福柯(j .)在巴黎万神殿的穹顶上悬挂了一根67米长的绳子，绳子的下端连接着一个28公斤重的钟摆(图1和图2)。这个著名的傅科摆是人类第一个证明地球自转的实验。虽然哥白尼(n .)的日心说早在16世纪就提出了，但人们仍然不能通过自己的感官直接认识地球的运动。

1.福柯，1819-1868。

图2福柯摆实验。

1602年，伽利略对单摆定律有了深刻的理解。单摆的摆动是平面运动，摆动平面在惯性空范围内保持方向不变。如果地球旋转，摆动平面将相对于地球偏转。地球每天昼夜绕极轴自转一周，自转角速度e每小时逆时针旋转150°。巴黎的纬度是北纬48.52度，地球绕巴黎垂直线的角速度是esin，大约是每小时11.24。将摆长l=67m，重力加速度g=9.8m/s代入单摆周期公式，t = 2 (l/g) 1/2 = 16.4s，每次摆动，摆动平面应相对于地球顺时针转动3分钟左右。这个实验验证了福柯的预言，引起了很大的轰动。

福柯摆实验完成后的第二年，福柯于1852年在巴黎科学院进行了另一项实验。他展示了一种由一根细线组成的新仪器，细线悬挂着一个带有转子的环，转子的旋转轴可以自由改变方向(图3)。保持转子旋转轴沿子午线向北水平。无扭矩时，转轴应保持惯性空之间的方位不变。如果地球逆时针旋转，地球上的观测者应该可以看到旋转轴相对于地球的顺时针偏转，从而再次证明了地球的自转(图4)。然而，实验并没有达到预期的结果，两个重要的原因导致了失败。一是转子转速太低；第二，悬丝的扭矩严重阻碍了转子的运动。虽然实验不成功，但意义重大，因为这个不完美的仪器是深圳生命网历史上第一个具有科学意义的陀螺仪。

图3福柯陀螺仪。

02

福柯陀螺仪能够指向北方。

陀螺仪是由外环、内环(或包含转子的外壳)和转子组成的系统。建立以陀螺质心O为原点的(O-xyz)坐标系。x轴为外环轴，y轴为内环轴，z轴为转子极轴，是转子的转轴。外环的角是，内环围绕外环的角是(图4)。I，j，k代表每个坐标轴的基向量。如果转子的极惯性矩为c，绕z轴快速旋转的角速度为0，那么动量矩L=C0k。在分析陀螺转子进动时，可以忽略缓慢旋转的内外环的动量矩。以O为原点建立与地球合并的地理坐标系(O-XEN)，其中x轴沿垂直线向上，e轴沿纬度线向东，n轴沿子午线向北(图5)。陀螺仪的外环轴x沿着垂直轴x放置在地球上，我们假设内环相对于外环是固定的，且let =0。由于转子转轴z轴上只剩下一个自由度，故称之为单自由度傅科陀螺仪。

图4由内环和外环支撑的陀螺仪。

图5地理坐标系。

旋转物体的转轴在力矩作用下改变方向的运动称为进动，刚体进动产生的转动惯量称为陀螺力矩。是一个旋转坐标系，其中地球绕极轴Z0以角速度e旋转。设安装地点的纬度为X0、E0、N2，表示(O-XEN)各坐标轴的基向量，设1=ecos，2=esin，则e=2X0+1N0。假设(O-xyz)和(O-XEN)在初始时间重合，转子的极轴z指的是北方。然后框架绕X轴逆时针转动，使极轴偏离子午线。由于框架可以不受约束地绕x轴自由旋转，所以e沿x轴的分量2X0不能传递给转子。只有沿n轴的分量1N0才能通过轴承的约束力作用在转子上进动，产生沿x轴的陀螺力矩Mc=L1N0。仅导出预留的一阶小量，代入N0=j+k后。

这个力矩与框架的偏转方向相反，促使框架和极轴回到绕X轴的子午线位置。在回归过程中，转子动量矩l沿y轴变化所需的外力矩由轴承的约束提供。上述分析表明，单自由度傅科陀螺仪具有指向北方的能力。

然而，这种单自由度陀螺仪很难用于船舶或其他移动载体。原因是地球自转太慢，产生的陀螺力矩太弱，无法克服轴承摩擦的阻碍。此外，陀螺的架轴必须保持严格垂直，稍有倾斜就会造成严重误差。虽然无法在实践中使用，但这个简单的陀螺装置却开启了利用地球自转创造指北针仪的奋斗历程。

03

如何创建实用的陀螺罗盘？

我们的祖先很早就在海洋上移动，在浩瀚的海洋中航行需要正确的方向。利用地球磁场的指南针是中国四大发明之一，自传入西方后，成为远洋船队必备的磁罗盘。15世纪，郑和下西洋的深圳生命网庞大船队，16世纪的伽马、哥伦布船队，都离不开磁罗盘的导航，但磁罗盘只能用于木船。19世纪初，欧洲出现了铁船，钢船体对磁力线的干扰使磁罗盘失效。因此，探索新的导航罗盘已成为主要航海国家的紧迫任务。福柯陀螺仪的出现为新指南针的产生提供了希望。

单自由度陀螺仪不成功，使内环自由旋转，改为二自由度陀螺仪。外环垂直固定在地球北半球P点，内环水平，转子极轴沿子午线指向北方。短时间后，地球因自转而绕南北极轴转了一个微小的角度，使P点沿纬度线由西向东转到P点。由于陀螺的同轴度，为了保持惯性空中的方位不变，极轴向东偏离子午线的新位置，产生偏转角(图6)。单自由度陀螺仪可以利用地球自转产生的陀螺力矩使极轴回到子午线位置，但由于恢复力矩太弱，实际上无法使用。因此，关键的问题是找到更强大的力量来快速将极轴恢复到原来的位置。

仔细观察可以发现，在从子午线向东偏离的同时，极轴略微升高，偏离角出现而不是水平。极轴偏离水平面的现象非常重要，这表明了通过重力恢复原始位置的可能性。如果在安装转子的内环下方增加配重，内环和转子组件的重心会从支撑中心向下偏离，形成绕Y轴旋转的复摆。内环抬头时，重力产生沿纬度向西的力矩，使极轴带动外环沿垂直轴向西运动，回到与子午线一致的原始位置。因此思路逐渐清晰:用重力摆产生的力矩代替地球自转弱引起的陀螺力矩，可以使陀螺转子进动循经。

图6地球自转引起的转子极轴偏转。

围绕x轴的重量力矩mg1与转子进动产生的陀螺力矩L(d/dt)平衡。导出

其中k =毫克升/升..此时，转子因内环偏转角变化而产生的绕y轴的陀螺力矩L(d/dt)与地球自转e引起的陀螺力矩L1平衡，并导出。

以上两个方程决定了指南针的进动规律。对线性方程进行了分析，导出了特征=i(k1)1/2，表明指北针的平衡状态是稳定的。扰动运动是围绕平衡态的周期运动，周期为T=2/(k1)1/2。一

图7陀螺罗盘的阻尼。

第一种减震方案的实现方式有很多种，最简单的方法是将下下摆配重与内环总成的连接点向东稍微偏移一个角度。当极轴相对水平面倾斜时，重力不仅会产生绕y轴的力矩My，还会产生绕x轴的微小力矩Mx进行阻尼(图8)。

图8配重和内圈之间的偏心连接。

实现第二种方案的难点在于无法提前获取方位信息，因为测量基准是罗盘要建立的子午面。通过利用和之间的相位差为90°的特性，可以用与相位差为90°的水平转矩来代替阻尼转矩。液体摆有这种特殊的功能。它由两个形状相同的盛装粘性液体的容器组成，容器之间通过细管连通。连接器载体倾斜时，液体从高端容器流入低端容器，产生重力矩，反映复摆效应。假设液体表面相对于容器轴线y的倾斜角是载体轴线相对于水平轴线y的倾斜角，液体表面相对于y轴线的倾斜角是-(图9)。连通管中液体的速度与两端压差成正比，即正比于-，d/dt=-c(-)。将比例系数c的倒数写成T=1/c和T(d/dt)+=。对于强粘性液体，时间常数t足够大。包括流速的第一项大约与成比例，这表明与基底摇摆运动成比例的倾覆力矩之间的相位差接近90°。

图9液体摆。

04

实践中的新问题。

在解决了罗经的指北原理后，实践中出现了一些新的理论问题。首先，实际使用罗盘时，理论分析中船舶南北方向的航行速度会改变地理坐标系的方位，使接近陀螺极轴的子午线偏离真子午线。由此产生的子午线偏差称为速度误差(图10)。

其中r是地球的半径，vE和vN是船的东、北向速度。误差随着纬度的增加而增加，但在导航时可以修正。只有当纬度接近地球两极时，误差才无限增大，不能用于高纬度地区。

图10速度误差的产生。

此外，船舶在重力摆上加速、减速或转弯所产生的惯性力也会造成冲击误差。这个问题被德国物理学家m .舒勒彻底解决了，他在1923年从理论上证明，如果将单摆的摆长增加到与地球半径R相等，则无论载体的加速度如何，单摆都能始终与地球的垂直方向保持一致，从而避免了加速度的干扰。地球半径R = 6371km千米，重力加速度g = 9.81m米/秒代入周期公式T=2(R/g)1/2，计算周期为84.4分钟..这种可以避免加速度干扰的特殊周期称为舒勒周期。可以证明，如果陀螺周期设计为舒勒周期，则可以避免冲击误差。

最严重的问题来自于船体在波浪的激励下不断摇摆。围绕艏艉线的摆动可以高达十几度。指南针的初步实践已经表明了摆动带来的巨大误差，因此我们应该首先从理论上讨论误差的原因，以改进指南针的结构。设船舶航行方位角为，使地理坐标系(O-XEN)绕垂直轴X顺时针旋转，形成新的参考坐标系(O-XYZ)。N轴到达的新位置是沿着船体的艏艉线。船体以角频率和振幅围绕z轴围绕浮动中心O0滚动。假设陀螺仪支撑点o与O0的垂直距离为h，沿水平轴y的加速度出现在点o处，a=aY0，a=hsint(图11)。

图11船体绕z轴的摇摆。

为了避免罗盘随船摆动，设计者在内环和外环之间增加了一个绕Z轴旋转的中环，隔离摆动的船体。中环组件与内环和转子的重心下移形成复摆，使其在船体摆动时仍能保持垂直。让罗盘处于理想状态，陀螺坐标系(O-xyz)和地理坐标系(O-XEN)完全一致。如果组件的质量为m，则从移动质量中心O1到陀螺支点o沿摆动轴x1的矢量直径为l，相对于垂直轴的摆动角为(图12)。摆动引起的惯性力-ma相对于支点o产生力矩M=l(-ma)，其沿z轴的分量Mz使组件的摆角发生强制振动。同时，m沿x轴和y轴的分量Mx和My通过轴承传递给转子。从图13可以看出，在轧制过程中，由于方向相反，水平分量My被抵消，但是离心力分量Mx总是具有相同的方向。由于船体摆动的频率远高于陀螺的固有频率，所以惯性矩Mx和My对陀螺的作用可以用每个周期的平均值来代替。My的平均值为零，而Mx的平均值使转子偏离轴线，与地球自转产生的陀螺力矩L1相平衡。偏角s是船舶摇摆引起的指示误差；

这种摇摆误差不仅取决于罗盘的结构参数、安装位置和摇摆强度，还取决于纬度角和方位角。在= 0，90，180，270等特殊位置，摆动误差为零；当= 45，135，225，315时，摆幅误差具有最大值。纬度越高，摆动误差越严重，接近地球两极时摆动误差无限增大。

图12环组件的强迫振动。

图13摆动引起的惯性力矩。

05

陀螺罗盘的技术实现。

在陀螺罗盘的机械原理得到充分论证后，就要靠工程师的智慧和企业家的勇气把理论变成现实。在福柯陀螺仪的失败教训中，1865年，特鲁夫(g .)通过使用电机驱动解决了提高陀螺仪速度的问题。1904年，FPPL (A .)利用德国钢丝悬挂的电动双转子陀螺成功证明了地球自转，实现了福柯未完成的愿望。因此，消除轴承摩擦、罗盘阻尼和消除摆动误差成为工程师们迫切需要解决的关键技术。

在19世纪末的早期工作中，特鲁维已经用内外圈组成的万向支架代替了钢丝悬挂支架。1884年，开尔文勋爵提出了将带有转子的组件悬浮在液体中的支撑方案。经过各种技术方案的不懈探索，20世纪初取得了实质性进展。1908年，德国的安希茨-KMPFE博士制造了一种悬挂在水银容器中的单转子陀螺罗盘(图14)。1909年，美国的斯佩里(e.a .)采用了类似福柯陀螺仪的钢丝悬挂支架，但增加了一个控制系统，随时消除钢丝的扭矩。此后，形成了沿不同技术路线发展的两种陀螺罗盘。

图14史高斯单转子陀螺罗盘。

1912年，安海斯对指南针进行了重大改进。他把框架和转子放入一个空中心钢球中，钢球悬挂在水银容器中，其重心低于漂浮中心。为了消除摆动误差，除了主旋翼H1沿Z轴外，钢球中还增加了两个辅助旋翼H2和H3，它们通过杠杆连接，以确保它们与Z轴具有相同的倾角。辅助转子沿Z轴的动量矩与主转子的动量矩叠加起导向作用。由于方向相反，沿y轴的分量偏移为零(图15)。当沿y轴的惯性力对钢球质心产生力矩m时，将迫使辅助转子H2和H3沿z轴的同一方向进动，产生的陀螺力矩将抵消干扰力矩，从而避免钢球绕z轴摆动，从而消除摆动的影响。

图15具有三个转子的史高斯陀螺罗盘。

舒尔茨的三转子罗盘已经在航海上使用了15年，享有很高的声誉。1927年再次修改，省略了陀螺仪的主旋翼H1，完全由倾角45°的辅助旋翼H2和H3代替。陀螺仪和所有附件都封装在密封的铜球中，并漂浮在液体容器中(图16)。值得一提的是，物理学大师爱因斯坦(a .)曾作为专利鉴定专家参与《红掌经》的修订设计(图17)。作为一种成熟的技术方案，改进后的安舒茨双转子罗盘被前苏联仿制，形成了库尔斯陀螺罗盘。也传入中国，成为国内较早的指南针产品。

图16 Amphotz双转子陀螺罗盘。

图17指南针实验船上的安海斯(左)和爱因斯坦(右)。

另一个方向开发的斯佩里罗盘由带控制的钢丝悬挂支撑，单个转子加入液体摆产生阻尼，消除摆动误差。随着科学技术的进步，以斯佩里罗盘为基础，它已经发展成为现代电控罗盘(图18)。采用与液体摆性质相同的强阻尼摆作为基本敏感元件，将测得的内环偏转角数据通过控制系统输入电力矩装置，产生指向北方过程中所需的力矩。因此，纯粹由力学定律创造的传统指南针完全被电子控制系统所取代。

图18电控陀螺罗盘。

电子控制罗盘的出现，结束了陀螺罗盘百年的发展历史。罗经的发明是力学和工程学结合的成功范例。回顾这段历史的意义在于了解人类从认识到利用自然规律的奋斗历程，依靠力学家、工程师和企业家的不懈努力，航海家的梦想终于实现了。对解决当前技术发展中的各种新问题具有借鉴意义。

参考文献:

刘彦柱。陀螺力学(第二版)。北京:科学出版社，2009。