所谓图像风格迁移，是指利用算法学习著名画作的风格，然后再把这种风格应用到另外一张图片上的技术。著名的图像处理应用Prisma是利用风格迁移技术，普通用户的照片自动变换为具有艺术家风格的图片。

一、图像风格迁移的原理

1、原始图像风格迁移的原理

　　在学习原始的图像风格迁移之前，可以在先看看ImageNet图像识别模型VGGNet（微调(Fine-tune)原理）。事实上，可以这样理解VGGNet的结构：前面的卷积层是从图像中提取“特征”，而后面的全连接层把图片的“特征”转换为类别概率。其中，VGGNet中的浅层（如conv1_1，conv1_2），提取的特征往往是比较简单的（如检测点、线、亮度），VGGNet中的深层（如conv5_1，conv5_2），提取的特征往往比较复杂（如有无人脸或某种特定物体）。

　　VGGNet本意是输入图像，提取特征，并输出图像类别。图像风格迁移正好与其相反，输入的是特征，输出对应这种特征的图片，如下图所示：

　　具体来说，风格迁移使用卷积层的中间特征还原出对应这种特征的原始图像。如下图所示，先选取一幅原始图像，经过VGGNet计算后得到各个卷积层的特征。接下来，根据这些卷积层的特征，还原出对应这种特征的原始图像。

　　下面的a、b、c、d、e分别为使用conv1_2、conv2_2、conv3_2、conv4_2、conv5_2的还原图像。可以发现：浅层的还原效果往往比较好，卷积特征基本保留了所有原始图像中形状、位置、颜色、纹理等信息；深层对应的还原图像丢失了部分颜色和纹理信息，但大体保留原始图像中物体的形状和位置。

　　还原图像的方法是梯度下降法。设原始图像为$vec{p}$，期望还原的图像为$vec{x}$（即自动生成的图像）。使用的卷积是第$l$层，原始图像$vec{p}$在第$l$层的卷积特征为$P_{ij}^{l}$。$i$表示卷积的第$i$个通道，$j$表示卷积的第$j$个位置。通常卷积的特征是三维的，三维坐标分别对应（高、宽、通道）。此处不考虑具体的高和宽，只考虑位置$j$，相当于把卷积“压扁”了。比如一个10x10x32的卷积特征，对应$1leqslant ileqslant 32$，$1leqslant jleqslant 100$。对于生成图像$vec{x}$，同样定义它在$l$层的卷积特征为$F_{ij}^{l}$。

　　有了上面这些符号后，可以写出“内容损失”（Content Loss）。内容损失$L_{content}(vec{p},vec{x},l)$的定义是：

　　$L_{content}(vec{p},vec{x},l)=frac{1}{2}sumlimits_{i,j}(F_{ij}^{l}-P_{ij}^{l})^{2}$

　　$L_{content}(vec{p},vec{x},l)$描述了原始图像$vec{p}$和生成图像$vec{x}$在内容上的“差异”。内容损失越小，说明它们的内容越接近；内容损失越大，说明它们的内容差距也越大。先使用原始图像$vec{p}$计算出它的卷积特征$P_{ij}^{l}$，同时随机初始化$vec{x}$。接着，以内容损失$L_{content}(vec{p},vec{x},l)$为优化目标，通过梯度下降法逐步改变$vec{x}$。经过一定步数后，得到的$vec{x}$是希望的还原图像了。在这个过程中，内容损失$L_{content}(vec{p},vec{x},l)$应该是越来越小的。

　　除了还原图像原本的“内容”之外，另一方面，还希望还原图像的“风格”。那么，图像的“风格”应该怎么样来表示呢？一种方法是使用图像的卷积层特征的Gram矩阵。

　　Gram矩阵是关于一组向量的内积的对称矩阵，例如，向量组$vec{x_{1}}$,$vec{x_{2}}$,…,$vec{x_{n}}$的Gram矩阵是

　　$egin{bmatrix}
(vec{x_{1}},vec{x_{1}}) &(vec{x_{1}},vec{x_{2}}) &… &(vec{x_{1}},vec{x_{n}}) \
(vec{x_{2}},vec{x_{1}}) & (vec{x_{2}},vec{x_{2}}) & … & (vec{x_{2}},vec{x_{n}})\
…& …& …&… \
(vec{x_{n}},vec{x_{1}})& (vec{x_{n}},vec{x_{2}}) & … & (vec{x_{n}},vec{x_{n}})
end{bmatrix}$

　　通常取内积为欧几里得空间上的标准内积，即$(vec{x_{i}},vec{x_{j}}) = vec{x_{i}}^{T}vec{x_{j}}$。

　　设卷积层的输出为$F_{ij}^{l}$，那么这个卷积特征对应的Gram矩阵的第$i$行第$j$个元素定义为

　　$G_{ij}^{l}=sumlimits_{k}F_{ik}^{l}F_{jk}^{l}$

　　设在第$l$层中，卷积特征的通道数为$N_{l}$，卷积的高、宽乘积为$M_{l}$，那么$F_{ij}^{l}$满足$1leqslant ileqslant N_{l}$，$1leqslant jleqslant M_{l}$。G实际是向量组$F_{1}^{l}$，$F_{2}^{l}$，…，$F_{i}^{l}$，…，$F_{N_{l}}^{l}$的Gram矩阵，其中，其中$F_{i}^{l}=(F_{i1}^{l},F_{i2}^{l},…,F_{ij}^{l},…,F_{iM_{l}}^{l})$。

　　此处数学符号较多，因此再举一个例子来加深读者对此Gram矩阵的理解。假设某一层输出的卷积特征为10x10x32，即它是一个宽、高均为10，通道数为32的张量。$F_{1}^{l}$表示第一个通道的特征，它是一个100维的向量，$F_{2}^{l}$表示第二个通道的特征，它同样是一个100维的向量，它对应的Gram矩阵G是

　　$egin{bmatrix}
(F_{1}^{l})^{T}(F_{1}^{l}) & (F_{1}^{l})^{T}(F_{2}^{l}) & … &(F_{1}^{l})^{T}(F_{32}^{l}) \
(F_{2}^{l})^{T}(F_{1}^{l}) & (F_{2}^{l})^{T}(F_{2}^{l}) & … & (F_{2}^{l})^{T}(F_{32}^{l})\
…& … &… &… \
(F_{32}^{l})^{T}(F_{1}^{l})& (F_{32}^{l})^{T}(F_{2}^{l}) & … & (F_{32}^{l})^{T}(F_{32}^{l})
end{bmatrix}$

　　Gram矩阵可以在一定程度上反映原始图片中的“风格” 。仿照“内容损失”，还可以定义一个“风格损失”（Style Loss）。设原始图像为$vec{a}$，要还原的风格图像为$vec{x}$，先计算出原始图像某一次卷积的Gram矩阵为$A^{l}$，要还原的图像$vec{x}$经过同样的计算得到对应卷积层的Gram矩阵是$G^{l}$，风格损失定义为

　　$L_{style}(vec{p},vec{x},l)=frac{1}{4N_{l}^{2}M_{l}^{2}}sum limits_{i,j}(A_{ij}^{l}-G_{ij}^{l})^{2}$

　　分母上的$4N_{l}^{2}M_{l}^{2}$是一个归一化项，目的是防止风格损失的数量级相比内容损失过大。在实际应用中，常常利用多层而非一层的风格损失，多层的风格损失是单层风格损失的加权累加，即$L_{style}(vec{p},vec{x})=sum limits_{i}w_{l}L_{style}(vec{p},vec{x},l)$，其中$w_{l}$表示第$l$层权重。

　　利用风格损失，可以还原出图像的风格了。如下图所示，尝试还原梵高的著名画作《星空》的风格。

　　其中，图a是由conv1_1的风格损失还原的，图b是由conv1_1，conv2_1两层的风格损失还原的，图c是由conv1_1，conv2_1，conv3_1，图d为conv1_1，conv2_1，conv3_1，conv4_1风格损失还原的。使用浅层还原的“风格图像”的纹理尺度往往比较小，只保留了颜色和局部的纹理（如图a）；组合深层、浅层还原出的“风格图像”更加真实且接近原图片（如图e）。
总结一下，到目前为止介绍了两个内容：

　　（1）利用内容损失还原图像内容。
　　（2）利用风格损失还原图像风格。

　　那么，可不可以将内容损失和风格损失结合起来，在还原一张图像的同时还原另一张图像的风格呢？答案是肯定的，这是图像风格迁移的基本算法。

　　设原始的内容图像为$vec{p}$，原始的风格图像为$vec{a}$，待生成的图像为$vec{x}$。希望$vec{x}$可以保持内容图像$vec{p}$的内容，同时具备风格图像$vec{a}$的风格。因此组合$vec{p}$的内容损失和$vec{a}$的风格损失，定义总的损失函数为

　　$L_{total}(vec{p},vec{a},vec{x})=alpha L_{content}(vec{p},vec{x})+eta L_{style}(vec{a},vec{x})$

　　$alpha$，$eta$是平衡两个损失的超参数。如果$alpha$偏大，还原的图像会更接近于$vec{p}$中，如果$eta$偏大，还原的图像会更接近$vec{a}$。使用总的损失函数可以组合$vec{p}$的内容和$vec{x}$的风格，这实现了图像风格的迁移。部分还原的图像如下图所示

　　以上是原始的图像风格迁移的基本原理。事实上，原始的图像风格迁移速度非常慢，在CPU上生成一张图片需要数十分钟甚至几个小时，即使在GPU上也需要数分钟才能生成一张较大的图片，这大大的限制了这项技术的使用场景。速度慢的原因在于，要使用总损失$L_{total}(vec{p},vec{a},vec{x})$优化图片$vec{x}$，这意味着生成一张图片需要几百步梯度下降法的迭代，而每一步的迭代都需要耗费大量的时间。从另一个角度看，优化$vec{x}$可以看作是一个“训练模型”的过程，以往都是针对模型参数训练，而这里训练的目标是图片$vec{x}$，而训练模型一般都比执行训练好的模型要慢很多。下面将会讲到快速图像风格迁移，它把原来的“训练”的过程变成了一个“执行”的过程，因此大大加快了生成风格话图片的过程。

二、快速图像风格迁移的原理

　　原始的图像风格迁移用一个损失$L_{total}(vec{p},vec{a},vec{x})$来衡量$vec{x}$是否成功组合了$vec{p}$的内容和$vec{a}$的风格。然后以$L_{total}(vec{p},vec{a},vec{x})$为目标，用梯度下降法来逐步迭代$vec{x}$。因为在生成图像的过程中需要逐步对$vec{x}$做优化，所以速度比较慢。

　　快速图像风格迁移的方法是：不使用优化的方法来逐步迭代生成$vec{x}$，而是使用一个神经网络之间生成$vec{x}$。对应的网络结构如下图所示：

　　整个系统由两个神经网络组成，它们在图中由两个虚线框分别标出。左边的是图像生成网络，右边是损失网络。损失网络实际上是VGGNet，这与原始的风格迁移是一致的。同原始图像风格迁移一样，利用损失网络来定义内容损失、风格损失。这个损失用来训练图像生成网络。图像生成网络的职责是生成某一种风格的图像，它的输入是一个图像，输出同样是一个图像。由于生成图像只需要在网络中计算一遍，所以速度比原始图像风格迁移提高很多。

　　同样使用数学符号严格地阐述上面地过程：设输入的图像为$vec{x}$，经过图像生成网络生成的图像为$vec{y}$。$vec{y}$在内容上应该与原始的内容图像$vec{y}_{c}$接近，因此可以利用损失网络定义内容损失$L_{content}(vec{y},vec{y}_{c})$，内容损失使用的是VGG-16中的relu3_3层输出的特征，对应上图中的$l_{feat}^{phi ,relu3\_3}$。另一方面，我们还希望$vec{y}$具有目标风格图像$vec{y}_{s}$的风格，因此又可以定义一个风格损失$L_{total}(vec{y},vec{y}_{c},vec{y}_{s})$。定义风格损失时使用了VGG-16的四个中间层relu1_2，relu2_2，relu3_3，relu4_3，对应图中的$l_{style}^{phi ,relu1\_2}$、$l_{style}^{phi ,relu2\_2}$、$l_{style}^{phi ,relu3\_3}$、$l_{style}^{phi ,relu4\_3}$。同样组合这两个损失得到一个总损失$L_{total}(vec{y},vec{y}_{c},vec{y}_{s})$。利用总损失可以训练图像生成网络。训练完成后直接使用图像生成网络生成图像。值得一提的是，在整个训练过程中，一般只固定一种风格$vec{y}_{s}$，而内容图像$vec{y}_{c}$取和输入$vec{x}$一样，即$vec{y}_{s}$=$vec{x}$。

　　下面详细的比较原始图像风格迁移与快速图像风格迁移。

　　这篇博客详细介绍了原始图像风格迁移的基本原理，其中内容损失、风格损失两种损失函数的定义尤为关键。接着还介绍了快速图像风格迁移的原理，以及它和原始图像风格迁移的对比。